§. 5. Uebergang zur Kugelfläche, Strömungen auf beliebigen krummen Flächen.
Um die unendlich grossen Werthe von z derselben geometrischen Behandlungsweise zugänglich zu machen, wie die endlichen, bedient man sich in den Lehrbüchern jetzt allgemein der Kugelfläche(4), welche stereographisch auf die [formula]-Ebene bezogen ist. Man kennt die einfachen geometrischen Beziehungen, welche bei dieser Abbildung auftreten(5). Man weiss auch zur Genüge, dass das Unendlich-Weite der Ebene sich in einen bestimmten Punct der Kugel, den Projectionspunct, zusammenzieht, so dass es keine symbolische Ausdrucksweise mehr ist, wenn man auf der Kugel von einem Puncte [formula] spricht. Dagegen scheint es noch immer weniger bekannt zu sein, dass bei dieser Abbildung die Functionen von [formula] eine Bedeutung für die Kugelfläche gewinnen, welche derjenigen, die sie für die Ebene hatten, genau analog ist, dass man also in den Entwickelungen der vorangehenden Paragraphen statt der Ebene die Kugel gebrauchen kann, wobei von einer Sonderstellung des Werthes [formula] von vorne herein keine Rede ist(6): Ich entwickele hier kurz diejenigen Sätze der Flächentheorie, aus denen diese Behauptung folgt, und nehme meinen Standpunct dabei gleich so allgemein, dass meine Darstellung für später anzustellende Betrachtungen ausreicht.
Indem wir Flüssigkeitsbewegungen parallel der [formula]-Ebene studirten, haben wir uns bereits gewöhnt, die Flüssigkeitsschicht, welche der Betrachtung unterliegt, als unendlich dünn vorauszusetzen. In demselben Sinne kann man Flüssigkeitsbewegungen offenbar auf beliebig gegebenen Flächen betrachten. Die Verschiebungen frei ausgespannter Flüssigkeitsmembranen in sich, wie man sie bei den Plateau’schen Versuchen so schön beobachten kann, geben ein anschauliches Beispiel dafür.—Wir werden versuchen, auch derartige Bewegungen durch ein Potential zu definiren, und vor allen Dingen fragen, welche Bewandniss es dann mit den stationären Bewegungen hat.
Die zweckmässige Verallgemeinerung des Potentialbegriffs bietet sich unmittelbar. Es sei u eine Function des Ortes auf der Fläche, so denke man sich auf letzterer die Curven [formula] Const. gezogen. Sodann werde festgesetzt, dass die Flüssigkeitsbewegung auf der Fläche in jedem Punkte senkrecht gegen die hindurchgehende Curve [formula] Const. stattfinden solle, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die, unter [formula] das Bogenelement der zugehörigen, auf der Fläche verlaufenden Normalrichtung verstanden, gleich [formula] ist. Wir nennen dann u, wie in der Ebene, das zur Bewegung gehörige Geschwindigkeitspotential.
Die in solcher Weise definirte Strömung soll nun eine stationäre sein.
Um eine bestimmte Formel zu haben, wollen wir ein krummliniges
Coordinatensystem p, q auf unserer Fläche annehmen und uns die Form
bestimmt denken:
[formula]
welche vermöge dieses Coordinatensystems das Bogenelement auf der Fläche annimmt. Dann gibt eine einfache Zwischenbetrachtung, welche der in der Ebene üblichen durchaus analog verläuft, dass u, um eine stationäre Bewegung zu veranlassen, der folgenden Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen muss:
[formula]
An diese Differentialgleichung knüpft nun eine kurze Ueberlegung, welche die volle Analogie mit den auf die Ebene bezüglichen Resultaten herstellt.
Es ergiebt sich nämlich aus der Form von (2); dass man neben jedem u, welches (2) genügt, eine andere Function v einführen kann, _die zu __u__ genau in dem bekannten Reciprocitätsverhältnisse steht_. In der That, vermöge (2) sind die folgenden beiden Gleichungen verträglich: