§. 8. Classification geschlossener Flächen nach der Zahl p.(9)
Für unsere Betrachtungen sind selbstverständlich alle diejenigen geschlossenen Fächen als aequivalent aufzufassen, die sich durch eindeutige Zuordnung conform auf einander abbilden lassen. Denn jede complexe Function des Ortes auf der einen Fläche wird sich bei einer solchen Abbildung in eine ebensolche Function auf der anderen Fläche verwandeln: die analytische Beziehung also, welche durch das Zusammenbestehen zweier complexer Functionen auf der einen Fläche versinnlicht wird, bleibt beim Uebergange zur zweiten Fläche durchaus ungeändert. Wenn man also z. B. (zufolge bekannter Entwickelungen) das Ellipsoid derart conform auf die Kugel beziehen kann, dass jedem Puncte desselben ein und nur ein Kugelpunct entspricht, so heisst diess für uns, dass das Ellipsoid ebenso geeignet ist, die rationalen Functionen und ihre Integrale zu repräsentiren, wie die Kugel.
Um so wichtiger ist es, ein Element kennen zu lernen, welches nicht nur bei conformer, sondern überhaupt bei eindeutiger Umgestaltung einer Fläche ungeändert erhalten bleibt(10). _Es ist diess das __Riemann__’sche p:_ die Zahl der Rückkehrschnitte, welche man auf einer Fläche ziehen kann, ohne sie zu zerstücken. Die einfachsten Beispiele genügen, um diesen Begriff einzuüben. Für die Kugel ist [formula]; denn sie zerfällt durch jede auf ihr verlaufende geschlossene Curve, in zwei getrennte Bereiche. Für den gewöhnlichen Ring ist [formula], man kann ihn längs einer, aber auch nur längs einer, übrigens noch sehr willkürlichen, in sich zurücklaufenden Curve zerschneiden, ohne dass er in Stücke zerfällt.
Dass es unmöglich ist, zwei Flächen von verschiedenem p eindeutig auf einander zu beziehen, scheint evident(11). Complicirter ist es, den umgekehrten Satz zu beweisen, _dass nämlich die Gleichheit des __p__ die hinreichende Bedingung für die Möglichkeit der eindeutigen Beziehung zweier Flächen abgibt_. Ich muss mich, was den Beweis dieses wichtigen Satzes angeht, an dieser Stelle auf blosse Citate unter dem Texte beschränken(12). Auf Grund desselben ist man berechtigt, bei Untersuchungen über geschlossene Flächen, so lange nur allgemeine Lagenverhältnisse in Betracht kommen, für jedes p einen möglichst einfachen Typus zu Grunde zu legen. In diesem Sinne wollen wir von Normalflächen sprechen. Für quantitative Bestimmungen reichen die Normalflächen natürlich in keiner Weise mehr aus; aber sie bieten auch für sie ein Mittel zur Orientirung.
Die Normalfläche für [formula] sei die Kugel, für [formula] der Ring. Bei höherem p mag man sich eine Kugel mit p Anhängseln (Handhaben) versehen denken, wie folgende Figur für [formula] aufweist: (see figure 14)
[Illustration: Fig. 14.]
Fig. 14.
Eine ähnliche Normalfläche ist natürlich auch bei [formula] statthaft, wie überhaupt man sich diese Flächen nicht als starr gegeben, sondern als beliebiger Verzerrungen fähig denken muss.
Auf diesen Normalflächen mögen nun gewisse Querschnitte, von denen wir im Folgenden Gebrauch zu machen haben, festgelegt werden. Bei [formula] kommen dieselben noch nicht in Betracht. Auf dem Ringe [formula] mag eine \quotedblbase Meridiancurve‘‘ A, verbunden mit einer "Breitencurve" B das Querschnittsystem bilden:
[Illustration: Fig. 15.]