und hieraus:
[formula]
sowie für v:
[formula]
Hier wird man nun u als Geschwindigkeitspotential deuten, so dass [formula] [formula] die Componenten der Geschwindigkeit sind, mit der eine Flüssigkeit parallel zur [formula]-Ebene strömt. Wir mögen uns diese Flüssigkeit zwischen zwei Ebenen eingeschlossen denken, die parallel zur [formula]-Ebene verlaufen, oder auch uns vorstellen, dass die Flüssigkeit als unendlich dünne, übrigens gleichförmige Membran über der [formula]-Ebene ausgebreitet sei. Dann sagt die Gleichung (2)—und dies ist der Kern unserer physikalischen Deutung—, dass unsere Strömung eine stationäre ist. Die Curven [formula] Const. heissen die Niveaucurven, während die Curven [formula] Const., die vermöge (1) den ersteren überall rechtwinkelig begegnen, die Strömungscurven abgeben.
Bei dieser Vorstellungsweise ist es zunächst natürlich völlig gleichgültig, wie beschaffen wir uns die strömende Flüssigkeit denken wollen. Inzwischen wird es in der Folge vielfach zweckmässig sein, dieselbe mit dem elektrischen Fluidum zu identificiren. Es wird dann nämlich u mit dem elektrostatischen Potential, welches die Strömung hervorruft, proportional, und die experimentelle Physik gibt uns mannigfache Mittel an die Hand, um zahlreiche Strömungszustände, die uns interessiren, thatsächlich zu realisiren.
Die Strömung selbst wird übrigens ungeändert bleiben, wenn wir u durchweg um eine Constante vermehren: es sind nur die Differentialquotienten [formula], welche unmittelbar in Evidenz treten. Das Analoge gilt von v; so dass die Function [formula], welche wir physikalisch deuten, durch diese Deutung nur bis auf eine additive Constante bestimmt ist, was im Folgenden wohl zu beachten ist.
Sodann bemerke man noch, dass die Gleichungen (1)-(3) ungeändert bestehen bleiben, wenn man u durch v, v durch [formula] ersetzt. Dementsprechend erhalten wir einen zweiten Strömungszustand, bei welchem v das Geschwindigkeitspotential abgibt und die Curven [formula] Const. die Strömungscurven sind. Derselbe repräsentirt in dem oben erläuterten Sinne die Function [formula]. Es ist häufig zweckmässig, diese neue Strömung neben der ursprünglichen zu betrachten, bei welcher u das Geschwindigkeitspotential war; wir wollen dann der Kürze halber von conjugirten Strömungen sprechen. Die Benennung ist zwar etwas ungenau, weil sich u zu v verhält, wie v zu [formula]; sie wird aber für später ausreichen.
Diese ganze Erläuterung bezieht sich, gleich den Differentialgleichungen (1)-(3), zuvörderst nur auf einen solchen (übrigens beliebigen) Theil der Ebene, in welchem [formula] eindeutig ist und weder [formula], noch einer seiner Differentialquotienten unendlich wird. Um den entsprechenden physikalischen Vorgang deutlich zu übersehen, hat man sich also vorab einen solchen Bereich abzugränzen und durch geeignete Vorrichtungen an der Gränze dafür zu sorgen, dass der im Inneren des Gebietes eingeleitete stationäre Bewegungszustand ungehindert fortdauern kann.
In einem so umgränzten Gebiete werden diejenigen Puncte [formula] unsere besondere Aufmerksamkeit auf sich ziehen, für welche der Differentialquotient [formula] verschwindet. Ich will der Allgemeinheit wegen gleich annehmen, dass auch [formula], [formula], [formula] bis hin zu [formula] gleich Null sein mögen. Um über den Verlauf der Niveaucurven, oder auch der Strömungscurven, in der Nähe eines solchen Punctes Aufschluss zu erhalten, entwickele man w in eine nach Potenzen von [formula] fortschreitende Reihe. Dieselbe bringt hinter dem constanten Gliede unmittelbar ein Glied mit [formula]. Durch Einführung von Polarcoordinaten schliesst man hieraus: dass sich im Puncte [formula] [formula] Curven [formula] Const. unter resp. gleichen Winkeln kreuzen, während ebensoviel Curven [formula] Const. als Halbirungslinien der genannten Winkel auftreten. Ich werde einen solchen Punct dementsprechend einen Kreuzungspunct nennen, und zwar einen Kreuzungspunct von der Multiplicität [formula].