Bei dieser Erläuterung wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass das Gebiet, in welchem wir den Strömungszustand betrachten, sich nicht in’s Unendliche erstrecke. Es hat allerdings keinerlei principielle Schwierigkeit, den Punct [formula] ebenso in Betracht zu ziehen, wie irgend einen anderen Punct [formula]. An Stelle der Reihenentwickelung nach Potenzen von [formula] hat dann in bekannter Weise eine solche nach Potenzen von [formula] zu treten. Man wird von einem [formula]-fachen Kreuzungspuncte bei [formula] sprechen, wenn diese Entwickelung hinter dem constanten Gliede sofort einen Term mit [formula] bringt. Aber es scheint überflüssig, die geometrischen Verhältnisse, welche diesen Vorkommnissen bei unserer Strömung entsprechen, ausführlicher zu schildern. Denn wir werden später Mittel und Wege kennen lernen, um die Sonderstellung des Werthes [formula], wie sie uns hier entgegentritt, ein für allemal zu beseitigen. Ebendesshalb wird der Punct [formula] in den nächstfolgenden Paragraphen (§. 2-4) bei Seite gelassen, trotzdem er auch dort, wenn man vollständig sein wollte, besonders in Betracht gezogen werden müsste.
§. 2. Berücksichtigung der Unendlichkeitspuncte von w = f(z).
Wir wollen nunmehr auch solche Puncte [formula] in unser Gebiet hereinnehmen, in denen [formula] unendlich gross wird. Dabei schränken wir indess die unbegränzte Reihe der Möglichkeiten, welche in dieser Richtung vorliegt, mit Rücksicht auf die specielle von uns allein zu studierende Functionsclasse bedeutend ein. Wir wollen verlangen, dass der Differentialquotient [formula] keine wesentlich singuläre Stelle besitzen soll, oder, was dasselbe ist, wir wollen festsetzen, _dass __w__ nur so unendlich werden darf, wie ein Ausdruck der folgenden Form_:
[formula]
unter [formula] eine bestimmte endliche Zahl verstanden.
Entsprechend den verschiedenen Formen, die dieser Ausdruck darbietet, sagen wir, dass sich bei [formula] verschiedene Unstetigkeiten überlagern: ein logarithmischer Unendlichkeitspunct, ein algebraischer Unendlichkeitspunct von der Multiplicität Eins, u. s. f. Wir werden der Einfachheit halber hier jedes dieser Vorkommnisse für sich betrachten, worauf es eine nützliche Uebung sein wird, sich in einzelnen Fällen das Resultat der Ueberlagerung deutlich zu machen.
Sei [formula] zuvörderst ein logarithmischer Unendlichkeitspunct. Wir haben dann:
[formula]
Hier ist A diejenige Grösse, welche man, mit [formula] multiplicirt, nach Cauchy als Residuum des logarithmischen Unendlichkeitspunctes bezeichnet, eine Benennung, die im Folgenden gelegentlich angewandt werden soll. Für die Strömung in der Nähe des Unstetigkeitspunctes ist es von primärer Wichtigkeit, ob A reell ist oder rein imaginär, oder endlich complex. Offenbar kann man den dritten Fall als eine Ueberlagerung der beiden ersten auffassen. Wir wollen daher auch ihn bei Seite lassen und haben uns somit nur mit zwei getrennten Möglichkeiten zu beschäftigen.
1) Wenn A reell ist, so werde [formula] gesetzt. Man hat dann in erster Annäherung für [formula], [formula]: