2) Im Falle [formula] müssen wir die Invariante J, wie wir wissen, jedenfalls reell nehmen. Sei dieselbe zunächst [formula]. Dann können wir das zugehörige überall endliche Integral W (durch Zufügung eines geigneten constanten Factors) so normiren, dass die eine Periode reell, gleich a, die andere rein imaginär, gleich [formula], wird. Setzen wir dann (für [formula]):
[formula]
so haben wir eine symmetrische Umformung der Fläche [formula] mit den zwei Uebergangscurven:
[formula]
schreiben wir dagegen:
[formula]
was wieder eine symmetrische Umformung unserer Fläche ist, so haben wir den Fall, in welchem keine Uebergangscurve entsteht.—Der Fall mit nur einer Uebergangscurve tritt ein, wenn wir [formula] nehmen. Wir können dann W so wählen, dass seine beiden Perioden conjugirt complex werden. Wir schreiben dann wieder
[formula]
und haben eine symmetrische Umformung mit der einen Uebergangscurve [formula].
Neben die hiermit erläuterte erste Unterscheidung der symmetrischen Flächen nach der Zahl der Uebergangscurven stellt sich aber noch eine zweite. Ich will die Fälle von 0 oder [formula] Uebergangscurven einen Augenblick ausschliessen. Dann bietet sich von vorneherein eine doppelte Möglichkeit. Eine Zerschneidung der Fläche längs sämmtlicher Uebergangscurven mag nämlich entweder ein Zerfallen der Fläche herbeiführen, oder nicht. Es sei [formula] die Zahl der Uebergangscurven. Man zeigt dann leicht, dass [formula] ungerade sein muss, wenn ein Zerfallen eintreten soll. Eine weitere Beschränkung existirt nicht, wie man an Beispielen beweist. Wir wollen dementsprechend symmetrische Flächen der einen und der andern Art unterscheiden und den ersteren (den zerfallenden) Flächen die Fläche mit [formula] Uebergangscurven, den letzteren die Fläche ohne Uebergangscurve zurechnen.