Betreffs der Transformationen zweiter Art mögen wir voranstellen, dass jede Transformation der zweiten Art in Verbindung mit einer solchen der ersten Art eine neue Transformation der zweiten Art ergibt. Nun kennen wir bei den Flächen [formula] und [formula] die Transformationen erster Art auf Grund der angegebenen Sätze vollständig. Es wird bei ihnen also genügen, zu untersuchen, ob überhaupt eine Transformation der zweiten Art existirt. Bei den Flächen [formula] ist diess sofort zu bejahen. Denn es genügt, eine beliebige der eindeutigen Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, [formula], herauszugreifen, und dann [formula], [formula] zu setzen. Bei den Flächen [formula] ist die Sache anders. Man findet, dass im Allgemeinen keine Transformation der zweiten Art existirt. Zum Beweise ist es am einfachsten, die Werthe in Betracht zu ziehen, welche das überall endliche Integral W auf der Fläche [formula] annimmt. Man denke sich in der Ebene W die Puncte [formula] markirt, unter [formula] wie oben beliebige positive oder negative ganze Zahlen verstanden. Man zeigt dann leicht, dass eine Transformation der zweiten Art der Fläche [formula] in sich nur dann möglich ist, wenn dieses Punctsystem eine Symmetrieaxe besitzt. Es ist diess gerade der Fall, in welchem die oben definirte absolute Invariante J einen reellen Werth aufweist. Je nachdem dabei [formula] oder [formula], können jene Puncte in der W-Ebene als die Ecken eines rhombischen oder eines rechteckigen Systems betrachtet werden.
Sei nun [formula]. Wenn für eine solche Fläche eine Transformation der zweiten Art existirt, so wird dieselbe im Allgemeinen von keiner weiteren Transformation derselben Art begleitet sein(44). Denn sonst würde die Wiederholung oder Combination dieser Transformationen eine von der Identität verschiedene Transformation der ersten Art liefern. Die Transformation muss daher nothwendig eine symmetrische sein, d. h. eine solche, welche die Puncte der Fläche paarweise zusammenordnet. Ich will dementsprechend die Fläche selbst eine symmetrische nennen.
Uebrigens mögen hinterher unter diesem Namen überhaupt alle Flächen mit einbegriffen sein, welche Transformationen zweiter Art in sich zulassen, die zweimal angewandt zur Identität zurückführen. Es gehören dahin, wie man sofort sieht, die Flächen [formula], sowie auch sämmtliche Flächen [formula] mit reeller Invariante.
§. 21. Besondere Betrachtung der symmetrischen Flächen.
Für die symmetrischen Flächen, auf die wir hier unser besonderes Augenmerk richten wollen, ergibt sich sofort eine Eintheilung nach der Zahl und Art der auf ihr befindlichen Uebergangscurven, d. h. derjenigen Curven, deren Puncte bei der in Betracht kommenden symmetrischen Umformung ungeändert bleiben.
Die Zahl dieser Curven kann jedenfalls nicht grösser sein, als [formula]. Denn wenn man eine Fläche längs aller ihrer Uebergangscurven mit Ausnahme einer einzigen zerschneidet, so bildet sie, indem ihre symmetrischen Hälften noch immer in der einen Uebergangscurve zusammenhängen, nach wie vor ein ungetrenntes Ganze. Es würden sich also, wenn mehr als [formula] Uebergangscurven vorhanden wären, auf der Fläche mehr als p nicht zerstückende Rückkehrschnitte ausführen lassen, was ein Widerspruch gegen die Definition der Zahl p ist.
Dagegen ist unterhalb dieser Gränze jede Zahl von Uebergangscurven möglich. Es mag hier genügen, in diesem Sinne die Fälle [formula] und [formula] zu discutiren; für die höheren p ergeben sich dann von selbst naheliegen de Beispiele.
1) Wenn wir eine Kugel durch Spiegelung an einer Diametralebene mit sich zur Deckung bringen, so bildet der grösste Kreis, in welchem sie von der Diametralebene geschnitten wird, eine Uebergangscurve. Wir erhalten eine Zuordnung der anderen Art indem wir je zwei solche Puncte der Kugel entsprechend setzen, welche die Endpuncte eines Durchmessers bilden. Beide Beispiele sind leicht zu generalisiren. Die analytische Darstellung ist diese. Wenn eine Uebergangscurve existirt, so gibt es eindeutige Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, die auf der Uebergangscurve reelle Werthe annehmen. Heisst eine derselben [formula], so ist die Umformung, wie oben schon als Beispiel angegeben, durch [formula], [formula] gegeben.—Im zweiten Falle kann man eine Function [formula] so wählen, dass ihre Werthe [formula] und 0, sowie [formula] und [formula] zusammengeordnete Puncte vorstellen. Dann ist
[formula]
die analytische Formel der betreffenden Umänderung.