Nach diesen Sätzen ist [formula] für [formula], gleich 1 für [formula], und gleich Null für alle grösseren p. Die Zahl der Moduln ist also für [formula] gleich Null, für [formula]_ gleich Eins, für grössere __p__ gleich _[formula].
Es wird gut sein, noch folgende Bemerkungen hinzuzufügen. Um den Punct eines Raumes von [formula] Dimensionen zu bestimmen, wird man im Allgemeinen mit [formula] Grössen nicht ausreichen: man wird mehr Grössen benöthigen, zwischen denen dann algebraische (oder auch transcendente) Relationen bestehen. Ausserdem mag es aber auch sein, dass man zweckmässigerweise Bestimmungsstücke einführt, von denen jedesmal verschiedene Serien denselben Punct der Mannigfaltigkeit bezeichnen. Welche Verhältnisse bei den [formula] Moduln, die bei [formula] existiren müssen, in dieser Hinsicht vorliegen, ist nur erst wenig erforscht. Dagegen ist der Fall [formula] aus der Theorie der elliptischen Functionen genau bekannt. Ich erwähne die auf ihn bezüglichen Resultate, um mich im Folgenden bei aller Kürze doch präcise ausdrücken zu können. Sei vor allen Dingen hervorgehoben, dass für [formula] das algebraische Individuum (um diesen oben gebrauchten Ausdruck noch einmal zu verwenden) in der That durch eine (und nur eine) Grösse charakterisirt werden kann: die absolute Invariante [formula](41). Wenn im Folgenden gesagt wird, dass zur Ueberführbarkeit zweier Gleichungen [formula] in einander die Gleichheit des Moduls nicht nur hinreichend, sondern auch erforderlich sei, so ist stets an die Invariante J gedacht. Statt ihrer verwendet man, wie bekannt, gewöhnlich das Legendre’sche [formula], welches bei gegebenem J sechswerthig ist, so dass bei der Formulirung allgemeiner Sätze eine gewisse Schwerfälligkeit unvermeidbar scheint. In noch höherem Maasse ist dies der Fall, wenn man das Periodenverhältniss [formula] des elliptischen Integrals erster Gattung, wie dies in anderer Beziehung vielfach zweckmässig ist, als Modul einführt. Jedesmal unendlich viele Werthe des Moduls bezeichnen dann dasselbe algebraische Individuum.
§. 20. Conforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst.
In den nun noch folgenden Paragraphen mögen die entwickelten Principien, wie in Aussicht gestellt, nach der geometrischen Seite verfolgt werden, um wenigstens die Grundzüge für eine Theorie der conformen Abbildung von Flächen auf einander zu gewinnen(42) und so den Andeutungen zu entsprechen, mit denen Riemann, wie bereits in der Vorrede bemerkt, seine Dissertation abschloss. Ich werde mich dabei, was die Fälle [formula] und [formula] angeht, um nicht zu weitläufig zu werden, vielfach auf eine blosse Angabe der Resultate oder eine Andeutung ihres Beweises beschränken müssen.
Indem wir uns zuvörderst nach conformen Abbildungen einer geschlossenen Fläche auf sich selbst fragen, haben wir eine Unterscheidung einzuführen, von der bislang noch nicht die Rede war: die Abbildung kann ohne Umlegung der Winkel geschehen oder mit Umlegung derselben. Wir haben eine Abbildung der einen Art, wenn wir eine Kugel durch Drehung um den Mittelpunct mit sich selbst zur Deckung bringen; wir bekommen die zweite Art, wenn wir zu demselben Zwecke eine Spiegelung an einer Diametralebene verwenden. Die analytische Behandlung, wie wir sie bisher benutzten, entspricht nur den Abbildungen der ersten Art. Sind [formula] und [formula] zwei complexe Functionen des Ortes auf derselben Fläche, so liefert [formula], [formula] die allgemeinste Abbildung erster Art (vergl. §. 6). Aber es ist leicht zu sehen, wie man die Erweiterung zu treffen hat, um auch Abbildungen zweiter Art zu umfassen. Man hat einfach [formula], [formula] zu setzen, um eine Abbildung zweiter Art zu haben.
Entnehmen wir zunächst den Entwickelungen des vorigen Paragraphen, was sich auf Abbildung der ersten Art bezieht. Indem wir uns möglichst geometrischer Ausdrucksweise bedienen, formuliren wir die folgenden Theoreme:
Flächen [formula] oder [formula] können immer, Flächen [formula] niemals unendlich oft durch Abbildung der ersten Art in sich übergeführt werden.
Bei den Flächen [formula] ist die einzelne Abbildung der ersten Art bestimmt, wenn man drei beliebige Puncte der Fläche drei beliebigen Puncten derselben zugeordnet hat.
Ist [formula], so darf man einen beliebigen Punct der Fläche einem zweiten nach Willkür zuweisen, und hat dann noch zur Bestimmung der Abbildung erster Art im Allgemeinen eine zweifache, im besonderen Falle eine vierfache oder sechsfache Möglichkeit.
Mit diesen Sätzen ist natürlich nicht ausgeschlossen, dass besondere Flächen [formula] durch getrennte Transformationen der ersten Art in sich übergehen mögen. Tritt diess ein, so bildet es eine bei beliebiger conformen Umänderung der Fläche invariante Eigenschaft, nach deren Vorhandensein und Modalität besonders interessante Flächenclassen aus der Gesammtheit der übrigen herausgehoben werden können.(43) Doch verfolgen wir hier diesen Gesichtspunct nicht weiter.