Bemerken wir hierzu, dass die Gesammtheit der m-blättrigen Flächen mit w Verzweigungspuncten ein Continuum bildet(38), wie das Entsprechende betreffs der auf gegebener Fläche existirenden eindeutigen Functionen mit m Unendlichkeitspuncten bereits in §. 13 hervorgehoben wurde. Wir schliessen dann, _dass die algebraischen Gleichungen eines gegebenen __p__ ebenfalls eine einzige zusammenhängende Mannigfaltigkeit constituiren_ (wobei wir alle Gleichungen, die aus einander durch eindeutige Transformation hervorgehen, als ein Individuum erachten). Hierdurch erst gewinnt die angegebene Zahl der Moduln ihre präcise Bedeutung: sie ist die Zahl der Dimensionen dieser zusammenhängenden Mannigfaltigkeit.

Es kommt jetzt noch darauf an, die Zahl [formula] zu bestimmen. Diess geschieht durch folgende Sätze:

1. Jede Gleichung [formula] kann [formula] mal eindeutig in sich, selbst transformirt werden. Denn auf der zugehörigen Riemann’schen Fläche existiren eindeutige Functionen mit nur je einem Unendlichkeitspunct in dreifach unendlicher Zahl (§. 13), von denen man, um eine eindeutige Transformation der Fläche in sich zu haben, nur irgend zwei entsprechend zu setzen hat.—Des Näheren stellt sich die Sache so. Heisst eine der genannten Functionen z, so sind alle anderen (nach §. 16) algebraische eindeutige, d. h. rationale Functionen von z, und, da das Verhältniss umkehrbar sein muss, lineare Functionen von z. Umgekehrt ist auch jede lineare Function von z eine eindeutige Function des Ortes in unserer Fläche, mit nur einem Unendlichkeitspuncte. Daher wird man die allgemeinste eindeutige Transformation der Gleichung in sich bekommen, wenn man jedem Puncte z der Riemann’schen Fläche einen anderen durch die Formel zuordnet:

[formula]

unter [formula] beliebige Constante verstanden.

2) Jede Gleichung [formula] kann einfach unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden. Zum Beweise betrachte man das zugehörige überall endliche Integral W und insbesondere die Abbildung, welche von der zweckmässig zerschnittenen Riemann’schen Fläche in der Ebene W entworfen wird. Wir haben dies in einem besonderen Falle bereits gethan (§. 15, Figur (38)); eine genaue Ausführung im allgemeinen Falle wird um so weniger nöthig sein, als es sich um Betrachtungen handelt, die in der Theorie der elliptischen Functionen ausführlich entwickelt zu werden pflegen. Das Resultat ist, dass zu jedem Werthe von W ein Punct und nur ein Punct der betreffenden Riemann’schen Fläche gehört, während sich die unendlich vielen Werthe von W, die demselben Punkte der Riemann’schen Fläche entsprechen, aus einem derselben in der Form zusammensetzen: [formula], unter [formula], [formula] beliebige ganze Zahlen, unter [formula], [formula] die beiden Perioden des Integrals verstanden. Bei eindeutiger Umformung wird jedem Puncte W ein Punct [formula] in der Weise zugeordnet werden müssen, dass jeder Vermehrung von W um Perioden eine solche von [formula] entspricht, und umgekehrt. Diess gelingt in der That, aber im Allgemeinen nur in der Weise, dass man

[formula]

setzt. Nur im besonderen Falle (wenn das Periodenverhältniss [formula] bestimmte zahlentheoretische Eigenschaften hat) kann [formula] auch gleich [formula], oder [formula] gesetzt werden (unter [formula] eine dritte Einheitswurzel verstanden)(39). Wie dem auch sei, wir haben in jedem Falle in den Transformationsformeln nur eine willkürliche Constante und also den wechselnden Werthen derselben entsprechend in der That einfach unendlich viele Transformationen, wie behauptet wurde.

3) Gleichungen [formula] können niemals unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden.(40)

Ich verweise, was den analytischen Beweis dieser Behauptung angeht, auf die Darstellungen von Schwarz (Borchardt’s Journal Bd. 87) und Hettner (Göttinger Nachrichten, 1880, p. 386). Auf anschauungsmässigem Wege kann man sich die Richtigkeit der Behauptung folgendermassen verständlich machen. Sollte es unendlich viele eindeutige Transformationen der Gleichung in sich geben, so müsste es möglich sein, die zugehörige Riemann’sche Fläche derart continuirlich über sich hin zu verschieben, dass jede kleinste Figur mit sich selbst ähnlich bleibt. Die Curven, längs deren eine solche Verschiebung vor sich ginge, müssten die Fläche jedenfalls vollständig und zugleich einfach überdecken. Ein Kreuzungspunct dürfte in diesem Curvensysteme offenbar nicht vorhanden sein. Man müsste einen solchen Punct nämlich, damit keine Vieldeutigkeit der Transformation eintritt, als festbleibenden Punct betrachten und also die Geschwindigkeit der Verschiebung in ihm gleich Null setzen. Dann aber würde eine kleine Figur, welche bei der Verschiebung auf den Kreuzungspunct zu rückt, im Sinne der Bewegung nothwendig zusammengedrückt, senkrecht dazu auseinandergezogen werden; sie könnte also nicht mit sich selbst ähnlich bleiben, wie es doch durch den Begriff der conformen Abbildung verlangt wird.—Andererseits müssen aber in jedem Curvensysteme, das eine Fläche [formula] vollständig und einfach überdeckt, nothwendig Kreuzungspuncte vorhanden sein. Diess ist derselbe Satz, den wir, in etwas weniger allgemeiner Form, in §. 11 aufgestellt haben.—Die ganze Verschiebung der Fläche in sich ist also unmöglich, was zu beweisen war.