Die Fälle [formula] und [formula], welche hierbei ausgeschlossen wurden, sind implicite bereits im vorigen Paragraphen erledigt. Selbstverständlich müssen zwei symmetrische Flächen [formula], die sich auf einander sollen abbilden lassen, die gleiche Invariante J besitzen, was eine Bedingung für die Constanten der Flächen abgibt, insofern J jedenfalls reell ist. Im Uebrigen aber findet man sofort, dass die Abbildung sich allemal ermöglicht, sobald die symmetrischen Flächen, wie dies selbstverständlich verlangt werden muss, in der Zahl der Uebergangscurven übereinstimmen.
§. 23. Berandete Flächen und Doppelflächen.
Auf Grund der nunmehr gewonnenen Resultate können wir den bisherigen Untersuchungen über die Abbildung geschlossener Flächen eine scheinbar bedeutende Verallgemeinerung zu Theil werden lassen, und habe ich eben desshalb die symmetrischen Flächen so ausführlich betrachtet. Wir können jetzt nämlich berandete Flächen und Doppelflächen in Betracht ziehen (mögen nun letztere berandet sein, oder nicht) und mit einem Schlage die auf sie bezüglichen Fragen erledigen. Hierzu gehört, was die Einführung der Randcurven angeht, dass wir uns von einer gewissen Beschränkung befreien, welche wir bisher, allerdings nur implicite, vorausgesetzt haben. Wir dachten uns die Flächen, auf denen wir operirten, bislang durchweg als stetig gekrümmt, oder doch nur in einzelnen Puncten (den Verzweigungspuncten) mit Unstetigkeiten behaftet. Aber nichts hindert uns, jetzt hinterher auch andere Unstetigkeiten zuzulassen. Wir werden uns z. B. vorstellen dürfen, dass unsere Fläche aus einer endlichen Anzahl verschiedener (im Allgemeinen selbst gekrümmter) Stücke, welche unter endlichen Winkeln zusammenstossen, polyederartig zusammengesetzt sei. Können wir uns doch auf einer solchen Fläche ebensogut elektrische Ströme verlaufend denken, wie auf einer stetig gekrümmten! Unter diese Flächen nun lassen sich die berandeten Flächen subsumiren.(47) Man fasse nämlich die beiden Seiten der berandeten Fläche als Polyederflächen auf, welche längs der Randcurve (also durchweg unter einem Winkel von 360 Grad) zusammenstossen und behandele nunmehr statt der ursprünglichen berandeten Fläche die aus beiden Seiten zusammengesetzte Gesammtfläche.(48) Diese Gesammtfläche ist dann in der That eine geschlossene Fläche. Sie ist aber überdiess eine symmetrische Fläche. Denn wenn man die übereinanderliegenden Puncte der beiden Flächenseiten vertauscht, so erfährt die Gesammtfläche eine conforme Abbildung auf sich selbst mit Umlegung der Winkel. Die Randcurven sind dabei die Uebergangscurven. Zugleich aber gewinnt unsere Eintheilung der symmetrischen Flächen in zweierlei Arten eine wichtige und durchschlagende Bedeutung. Die gewöhnlichen berandeten Flächen, bei denen man zwei Flächenseiten unterscheiden kann, entsprechen offenbar der ersten Art. Der zweiten Art aber correspondiren die Doppelflächen, bei denen man von einer Flächenseite durch continuirliches Fortschreiten über die Fläche hin zur anderen gelangen kann. Auch der Fall ist nicht auszuschliessen (wie bereits angedeutet), dass die Doppelfläche überhaupt keine Randcurve besitzen mag. Wir haben dann eine symmetrische Fläche ohne Uebergangscurve vor uns.
Ich betrachte nunmehr der Reihe nach die verschiedenen auseinanderzuhaltenden Fälle.
1) Sei zuvörderst eine einfach berandete, einfach zusammenhängende Fläche gegeben. Eine solche Fläche erscheint für uns als eine geschlossene Fläche [formula], welche unter Auftreten einer Uebergangscurve symmetrisch auf sich selbst bezogen ist. Wir finden also, _dass zwei solche Flächen sich allemal durch Abbildung der einen oder der anderen Art conform__ auf einander beziehen lassen, und dass man dabei in jedem der beiden Fälle noch drei reelle Constanten zur willkürlichen Verfügung hat._ Wir können die letzteren insbesondere dazu benutzen, um einen beliebigen inneren Punct der einen Fläche einem entsprechend gelegenen Puncte der anderen Fläche zuzuweisen und überdiess einen beliebigen Randpunct der einen Fläche einem beliebigen Randpuncte der anderen. Diese Bestimmungsweise entspricht dem bekannten Satze, den Riemann betreffs der conformen Abbildung einer einfach berandeten, einfach zusammenhängenden, ebenen Fläche auf die Fläche eines Kreises gegeben und in Nro. 21 seiner Dissertation als Beispiel für die Anwendung seiner Theorie auf Probleme der conformen Abbildung ausführlich erläutert hat.
2) Wir betrachten ferner Doppelflächen [formula] (ohne Randcurven). Aus §§. 21, 22 folgt sofort, dass zwei solche Flächen allemal conform auf einander bezogen werden können, und man dabei, den Schlussformeln des §. 21 entsprechend, noch drei reelle Constanten zu beliebiger Verfügung hat.
3) Die verschiedenen hier in Betracht kommenden Fälle, welche eine Gesammtfläche [formula] ergeben, betrachten wir gemeinsam. Es gehören dahin zunächst die zweifach berandeten, zweifach zusammenhängenden Flächen, also Flächen, die wir uns im einfachsten Falle als geschlossene Bänder vorstellen dürfen. Es gehören dahin ferner die bekannten Doppelflächen mit nur einer Randcurve, die man erhält, wenn man die beiden schmalen Seiten eines rechteckigen Papierstreifens zusammenbiegt, nachdem man den Streifen um 180 Grad tordirt hat. Es gehören endlich dahin gewisse unberandete Doppelflächen. Man kann sich von denselben ein Bild machen, indem man etwa ein Stück eines Kautschukschlauches umstülpt und nun so sich selbst durchdringen lässt, dass bei Zusammenbiegung der Enden die Aussenseite mit der Innenseite zusammenkommt. Bezüglich aller dieser Flächen besagen die früheren Sätze, dass die Abbildbarkeit der einzelnen Fläche auf eine zweite derselben Art das Bestehen einer aber nur einer Gleichung zwischen den reellen Constanten der Flächen voraussetzt, dass aber die Abbildung, wenn überhaupt, in unendlich vielen Weisen geschehen kann, indem man ein doppeltes Vorzeichen und eine reelle Constante zu beliebiger Verfügung hat.
4) Wir nehmen nunmehr den allgemeinen Fall einer zweiseitigen Fläche. Die Fläche soll [formula] Randkurven besitzen und überdiess [formula] nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen, wobei entweder [formula] sein muss oder [formula]. Dann wird die aus Vorder- und Rückseite gebildete Gesammtfläche [formula] nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen. Denn man kann erstens die [formula] nach Voraussetzung auf der einfachen Flächenseite möglichen Rückkehrschnitte jetzt doppelt benutzen (sowohl auf der Vorderseite, als der Rückseite), man kann ferner noch längs [formula] der vorhandenen Randcurven Schnitte anbringen, ohne dass die Gesammtfläche aufhörte, ein einziges zusammenhängendes Flächenstück zu bilden. Wir werden also in den Sätzen des vorigen Paragraphen [formula] setzen und haben:
Zwei Flächen der betrachteten Art lassen sich, wenn überhaupt, nur auf eine endliche Anzahl von Weisen auf einander abbilden. Die Abbildbarkeit hängt von [formula] Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen ab.
5) Wir haben endlich den allgemeinen Fall der Doppelfläche mit [formula] Randcurven und P auf der doppelt gedachten Fläche neben den Randcurven möglichen Rückkehrschnitten. Indem wir die drei unter 2) und 3) betrachteten Möglichkeiten ([formula], [formula] oder 1, und [formula], [formula]) bei Seite lassen, erhalten wir denselben Satz, wie unter 4), nur dass überall statt [formula] die Summe [formula] zu schreiben ist, wo P nach Belieben eine gerade oder ungerade Zahl sein kann. Insbesondere beträgt die Zahl der reellen Constanten einer Doppelfläche, die bei beliebiger conformer Abbildung ungeändert bleiben, [formula].—