Bezeichnet man mit [formula] das Bogenelement der Ebene, mit [formula] das entsprechende Bogenelement der Kugel, so kommt:
[formula]
eine Formel, welche für das Folgende insofern besonders wichtig ist, als sie die Abbildung als eine conforme charakterisirt.
6 Man vergleiche hierzu und zu den folgenden Entwickelungen: Beltrami,
Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque; Annali di
Matematica, ser. 2, t. I, p. 329 ff.—Die besondere Bemerkung, dass
Oberflächenpotentiale bei conformer Abbildung ebensolche bleiben,
findet sich in den in der Vorrede citirten Schriften von C. Neumann,
Kirchhoff und Töpler, dann auch z. B. bei Haton de la Goupillière:
Méthodes de transformation en Géométrie et en Physique Mathématique,
Journal de l’Ecole Polytechnique, t. XXV, 1867 (p. 169 ff.).
7 Es ist übrigens nicht schwer, sich auch ohne alle Formel von der
Richtigkeit jener Behauptung Rechenschaft zu geben; man sehe die
wiederholt citirten Arbeiten von C. Neumann und Töpler.
8 Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem
Charakter gibt die Ikosaedergleichwng (siehe Mathematische
Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:
[formula]
ist also (für z) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte von w fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wir z deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch [formula] gegeben und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der Multiplicität Zwei für die Function w dar. Hiernach kennt man (unter Einrechnung der Unendlichkeitspuncte) von den [formula] Kreuzungspuncten bereits [formula]. Die 30 noch fehlenden werden durch die Halbirungspuncte der 30 Kanten, die jenen 20 sphärischen Dreiecken angehören, geliefert.
[Illustration: Fig. 13.]
Fig. 13.