Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines jener 20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven; auf den 19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.
9 Die in diesem Paragraphen gegebene Darstellung weicht von der durch Riemann selbst gegebenen zumal dadurch ab, dass Flächen mit Randcurven vorab überhaupt nicht in Betracht gezogen werden und also statt der Querschnitte, die von einem Randpuncte zu einem zweiten laufen, sogenannte Rückkehrschnitte zur Verwendung gelangen (vgl. C. Neumann, Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’schen Integrale, p. 291 ff.).
10 Es ist immer nur an Umformung durch stetige Functionen gedacht. Ueberdies sollen bei den willkürlichen Flächen des Textes bis auf Weiteres gewisse besondere Vorkommnisse ausgeschlossen sein. Es ist am Besten, sich dieselben ohne alle singuläre Puncte zu denken; erst später kommen Verzweigungspuncte und damit Selbstdurchsetzungen der Fläche in Betracht (§. 13). Die Flächen dürfen jedenfalls keine Doppelflächen sein, bei denen man von einer Flächenseite durch continuirliches Fortschreiten auf der Fläche zur anderen Flächenseite gelangen kann; man vergleiche indess §. 23. Ueberdiess wird vorausgesetzt—wie man es immer thut, wenn man sich eine geschlossene Fläche als fertig gegeben denkt—dass die Fläche durch eine endliche Zahl von Schnitten in einfach zusammenhängende Theile zerlegt werden kann.
11 Damit soll keineswegs gesagt sein, dass diese Art geometrischer Evidenz nicht noch der näheren Untersuchung bedürftig sei. Man vergleiche die Erläuterungen von G. Cantor in Borchardt’s Journal, Bd. 84, p. 242 ff. Es bleiben inzwischen diese Untersuchungen von den Darlegungen des Textes ausgeschlossen, da es für letztere Princip ist, auf anschauungsmässige Verhältnisse als letzte Begründung zu recurriren.
12 Man sehe C. Jordan: Sur la déformation des surfaces in Liouville’s
Journal, ser. 2, Bd. 11 (1866). Einige Puncte, die mir besonderer
Aufklärung zu bedürfen schienen, sind in den mathematischen Annalen,
Bd. VII, p. 529, und Bd. IX, p. 476, besprochen.
13 Die Definition dieser Unendlichkeitspuncte bezog sich zunächst nur auf die Ebene, bez. die Kugel. Aber es ist wohl klar, wie dieselbe auf beliebige krumme Flächen zu übertragen ist: die Verallgemeinerung ist so zu treffen, dass wir auf die alten Unendlichkeitspuncte zurückkommen, wenn wir die Fläche und die stationären Strömungen auf ihr durch conforme Abbildung auf die Ebene übertragen.—In dieser Beschränkung hinsichtlich der Art der Unendlichkeitspuncte liegt auch, wie ich hier nicht ausführen kann, dass nur eine endliche Zahl von Unendlichkeitspuncten bei unseren Strömungen möglich ist. Desgleichen folgt aus unseren Prämissen, wie beiläufig hervorgehoben sei, dass von Kreuzungspuncten bei unseren Strömungen jedenfalls auch nur eine endliche Zahl auftritt.
14 Ueber die Periodicität des imaginären Theil’s der Function soll hiermit keinerlei Verfügung getroffen sein. In der That ist v bei gegebenem u durch die Differentialgleichungen (1) der pag. 1 bis auf eine additive Constante vollständig bestimmt und es unterliegen also die Periodicitätsmoduln, welche v an den Querschnitten [formula], [formula] besitzen mag, keinerlei willkürlicher Festsetzung.
15 Einen anderen Beweis siehe bei C. Jordan: Des contours tracés sur les surfaces, in Liouville’s Journal, ser. 2, Bd. 11 (1866).
16 Wegen dieses Satzes siehe Beltrami, 1. c. p. 354.
17 Ich will übrigens daran erinnern, dass man auch den Green’schen Satz anschauungsmässig begründen kann. Vgl. Tait, On Green’s and allied other theorems, Edinburgh Transactions, 1869—70, p. 69 ff.