18 Eine solche Orientirung ist vermuthlich auch für den praktischen Physiker von hohem Werthe.
19 Derartige Zeichnungen gab ich bereits in dem Aufsatze: Ueber den Verlauf der Abel’schen Integrale bei den Curven vierten Grades, Mathematische Annalen, Bd. X. Allerdings haben die Riemann’schen Flächen daselbst eine etwas andere Bedeutung, so dass bei ihnen nur in übertragenem Sinne von einer Flüssigkeitsbewegung die Rede sein kann; vergl. die Erläuterungen, welche darüber in §. 17 des Nachfolgenden gegeben werden.
20 Zu einem solchen Beweise scheint vor allen Dingen nothwendig, sich über die verschiedenen Möglichkeiten klar zu werden, die betreffs der Ueberführung einer gegebenen Fläche in die Normalfläche des §. 8 vorliegen.
21 Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der in m Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen grösser wird als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen, welche zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt’s Journal Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung betrifft: Brill und Nöther, über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7). Ich kann diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie sich mit Leichtigkeit an die Darstellung des Abel’schen Theorems anschliessen lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel’schen Functionen giebt,—und will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes (cf. §. 19), darauf hinweisen, dass eine lineare Abhängigkeit zwischen den [formula]_ Gleichungen jedenfalls nicht eintritt, wenn __m__ die Gränse [formula] überschreitet._
22 Ich spreche im Folgenden durchweg von der Ebene, statt von der
Kugel, um mich möglichst an die gewöhnliche Auffassungsweise
anzuschliessen.
23 Man vergleiche hierzu, was Riemann in Nr. 12 seiner Abel’schen
Functionen über die Abbildung durch überall endliche Functionen
sagt.
24 Wir haben oben (§. 11) ohne ausgeführten Beweis angegeben, dass die Zahl der Kreuzungspuncte von [formula] beträgt. Wie man jetzt sieht, ist diese Behauptung eine einfache Umsetzung der bekannten Relation, welche die Zahl der Verzweigungspuncte (oder vielmehr die Gesammtmultiplicität derselben) mit der Blätterzahl m und dem p einer mehrblättrigen Fläche verknüpft [unter p die Maximahlzahl der Rückkehrschnitte verstanden, die man auf dieser mehrblättrigen Fläche ziehen kann, ohne sie zu zerstücken].
25 Wegen der expliciten Formulirung dieser Relationen vergleiche man die gewöhnlichen Lehrbücher, sodann insbesondere die Schrift von C. Neumann: Das Dirichlet’sche Princip in seiner Anwendung auf die Riemann’schen Flächen, Leipzig 1865.
26 Es entsteht hier die interessante Frage, ob es immer möglich ist, mehrblättrige Flächen mit beliebigen Verzweigungspuncten conform in solche zu verwandeln, die durchaus keine singuläre Stelle besitzen Diese Frage greift über die im Texte zu behandelnden Gegenstände hinaus, aber ich habe sie immerhin anführen wollen. Gelingt es im einzelnen Falle nicht, so haben die vorgängigen Betrachtungen des Textes doch noch die Bedeutung, dass sie am einfachsten Beispiele die allgemeinen Ideen haben entstehen lassen und dadurch die Behandlung auch der complicirteren Vorkommnisse ermöglicht haben.
27 Vergl. Kirchhoff; Monatsberichte der Berliner Akademie von 1875, l.
c. (wo übrigens explicite nur die Beziehung zwischen Ringfläche und
ebenem Rechtecke besprochen wird).