38 Es folgt diese z. B. aus den Sätzen von Lüroth und Clebsch, die man
in den Bänden 4 und 6 der mathematischen Annalen abgeleitet findet.
39 Ich führe dieses Resultat, welches aus der Theorie der elliptischen
Functionen wohlbekannt ist, im Texte ohne Beweis an.
40 Es ist bei diesem Satze an eine continuirliche Schaar von Transformationen, also an Transformationen mit willkürlich veränderlichen Parametern gedacht. Ob eine Fläche [formula] unter Umständen nicht durch unendlich viele discrete Transformationen in sich übergehen kann, bleibt im Texte unerörtert; doch scheint diess bei endlichem p in der That auch unmöglich.
41 Vergl. die Darstellung im 14. Bande der mathematischen Annalen, p. 112 ff.
42 Die im Texte aufzustellenden Sätze finden sich explicite grösstentheils in der Literatur nicht vor. Wegen der Flächen [formula] vergleiche man den bereits citirten Aufsatz von Schwarz (Berliner Monatsberichte 1870). Man sehe ferner eine Arbeit von Schottky: Ueber die conforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Flächen}, die als Berliner Inaugural-Dissertation 1875 erschien und später (1877) in umgearbeiteter Form in Borchardts Journal Bd. 83 abgedruckt wurde. Es handelt sich in derselben um solche p-fach zusammenhängende ebene Bereiche, welche von [formula] Randcurven begränzt werden.
43 Solchen Flächen entsprechen algebraische Gleichungen mit einer
Gruppe eindeutiger Transformationen in sich. Die Bemerkungen des
Textes zielen also auf solche Untersuchungen ab, wie sie in neuerer
Zeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind (cf. die bereits citirte
Arbeit im 17. Bande der Mathematischen Annalen: Aufstellung und
Untersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann’scher
Flächen).
44 Es gibt natürlich wieder Flächen, welche neben einer Anzahl von Transformationen erster Art eine gleiche Anzahl von Transformationen zweiter Art zulassen; dieselben entsprechen den regulär-symmetrischen Flächen der Dyck’schen Arbeit.
45 Vergl. Harnack: Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, in Bd. 10 der Mathematischen Annalen, p. 189 ff.; vergleiche ferner p. 415, 416 daselbst, wo ich die Eintheilung jener Curven in zweierlei Arten gegeben habe. Vielleicht ist es zweckmässig, bei diesen Untersuchungen die Lehre von den symmetrischen Flächen und die Riemann’sche Theorie, so wie beide hier im Texte dargestellt werden, geradezu als Ausgangspunct zu wählen.
46 Siehe zumal: Cayley, on the correspondence between homographies and rotations, Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 238-240.
47 Ich verdanke diese Auffassung einer gelegentlichen Unterredung mit Hrn. Schwarz (Ostern 1881). Man vergl. p. 320 ff. der bereits genannten Arbeit von Schottky im 83. Bande von Borchardt’s Journal, sowie die Originaluntersuchungen von Schwarz über die Abbildung geschlossener Polyederflächen auf die Kugel (Berliner Monatsberichte 1865 p. 150 ff., Borchardt’s Journal Bd. 70, p. 121—136, Bd. 75, p. 330.)