[Illustration: Figur 5.]
Figur 5.
Man wird vermuthen, dass diese höheren Vorkommnisse aus den niederen durch Gränzübergang entstehen mögen. Ich verschiebe die betreffende Erläuterung bis zum folgenden Paragraphen, wo uns eine bestimmte Functionsclasse die erforderlichen Anschauungen mit Leichtigkeit vermitteln wird.
§. 3. Rationale Functionen und ihre Integrale. Entstehung höherer Unendlichkeitspuncte aus niederen.
Die entwickelten Sätze genügen, um den Gesammtverlauf solcher Functionen zu veranschaulichen, die, übrigens in der ganzen Ebene eindeutig, keine anderen Unendlichkeitspuncte aufweisen, als die eben betrachteten. Es sind diess, wie man weiss, die rationalen Functionen und ihre Integrale. Ohne ausgeführte Zeichnungen zu geben, stelle ich hier die Sätze, welche man bei ihnen betreffs der Kreuzungspuncte und Unendlichkeitspuncte findet, in knapper Form zusammen. Ich beschränke mich dabei, aus dem oben angegebenen Grunde, auf solche Fälle, in denen [formula] keinerlei ausgezeichnete Rolle spielt. Die hierin liegende Beschränkung wird hinterher, wie bereits angedeutet, von selbst in Wegfall kommen.
1) Die rationale Function, welche wir zu betrachten haben, stellt sich in der Form dar:
[formula]
wo [formula] und [formula] ganze Functionen desselben Grades sind, die ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden können. Ist dieser Grad der [formula] und zählt man jeden algebraischen Unendlichkeitspunct so oft, als seine Multiplicität anzeigt, so erhält man, den Wurzeln von [formula] entsprechend, n algebraische Unstetigkeitspuncte. Die Kreuzungspuncte sind durch [formula], eine Gleichung [formula] Grades, gegeben. Die Gesammtmultiplicität der Kreuzungspuncte ist also [formula], wobei man aber beachten muss, dass jede [formula]-fache Wurzel von [formula] eine [formula]-fache Wurzel von [formula] ist und also jeder [formula]-fache Unendlichkeitspunct der Function für [formula] Kreuzungspuncte mitzählt.
2) Soll das Integral einer rationalen Function
[formula]