Fig. 9.
Die zweite Möglichkeit für das Entstehen höherer Unendlichkeitsstellen aus niederen bietet die Betrachtung der rationalen Function [formula] selbst. Logarithmische Unendlichkeitsstellen bleiben dabei ausgeschlossen. Der [formula]-fache algebraische Unstetigkeitspunct entsteht jetzt aus [formula] einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten, indem nämlich [formula] einfache lineare Factoren von [formula] zu einem [formula]-fachen zusammenrücken müssen. Aber zugleich vereinigt sich mit ihnen eine Anzahl von Kreuzungspuncten, deren Gesammtmultiplicität [formula] beträgt. Denn [formula] erhält, wie schon bemerkt, in demselben Augenblicke, wo [formula] den [formula]-fachen Factor bekommt, einen [formula]-fachen Factor. Die folgende Figur erläutert in diesem Sinne das Entstehen des in Figur 5 abgeleiteten zweifachen algebraischen Unendlichkeitspunctes:
[Illustration: Fig. 10.]
Fig. 10.
Es ist natürlich leicht, diese beiden Arten des Gränzüberganges unter eine allgemeinere gemeinsam zu subsumiren. Wenn man [formula] logarithmische Unendlichkeitspuncte und [formula] Kreuzungspuncte successive oder gleichzeitig zusammenfallen lässt, so wird allemal ein [formula]-facher algebraischer Unstetigkeitspunct entstehen. Doch ist hier nicht der Ort, um diese Gedanken weiter auszuführen.
§. 4. Realisation der betrachteten Strömungen auf experimentellem Wege.
Wir wollen unserer Betrachtung nunmehr eine andere Wendung geben, indem wir uns fragen, wie diejenigen Bewegungsformen, die wir jetzt von den rationalen Functionen und ihren Integralen kennen, physikalisch realisirt werden mögen. Dabei sei es gestattet, von dem Princip der Ueberlagerung ausgiebigen Gebrauch zu machen, so dass es sich nur um Herstellung der allereinfachsten Bewegungsformen handelt. Aus der Theorie der Partialbrüche folgt, dass man jede der in Betracht kommenden Functionen aus einzelnen Bestandtheilen additiv zusammensetzen kann, welche sich unter einen der folgenden beiden Typen subsumiren:
[formula]
Da [formula] bei [formula] einen Unstetigkeitspunct hat, was eine unnöthige Besonderheit ist, so wollen wir den ersten Typus durch den allgemeineren ersetzen:
[formula]