Mathematische Geographie und Astronomie bei den Arabern.
Die Araber haben oft bewiesen, daß sie sich den Alten gegenüber nicht bloß rezeptiv verhalten wollten. So wurde z. B. die Messung eines Breitengrades zur Bestimmung des Erdumfanges unter Al Mamûn wieder vorgenommen und zwar, ohne daß man sich an das von den Griechen geschaffene Verfahren klammerte[679]. Ein wesentlicher Fortschritt dem Eratosthenes gegenüber lag bei diesem Unternehmen nämlich darin, daß die zugrunde gelegte Strecke nicht in Tagereisen ausgedrückt, sondern in der Richtung des Meridians mit Hilfe der Meßschnur ausgemessen wurde. Man fand die Länge des Grades gleich 56 und bei einer zweiten Messung gleich 562/3 arabischen Meilen[680] oder gleich etwa 113040 m, woraus sich der Erdumfang zu 40700 km berechnet.
Abb. 50. Albirunis Bestimmung des Erdumfanges.
Albiruni (um 1000) berichtet über das eingeschlagene Verfahren mit folgenden Worten[681]: »Man wähle einen Ort in einer ebenen Wüste und bestimme dessen Breite. Dann ziehe man die Mittagslinie und schreite längs derselben nach dem Polarstern. Miß den Weg in Ellen. Dann miß die Breite des zweiten Ortes. Ziehe die Breite des ersten davon ab und dividiere die Differenz durch den Abstand der Orte in Parasangen. Das Resultat, multipliziert mit 360, ergibt den Umfang der Erde in Parasangen.«
Von Interesse ist ein zweites Verfahren, das Albiruni zur Ermittlung des Erdumfanges anwandte. Es besteht darin, daß man einen hohen Berg besteigt, der sich in der Nähe des Meeres befindet, und von hier aus durch Beobachtung des Sonnenunterganges den Winkel α, d. h. die Depression ([Abb. 50]) bestimmt. Albiruni zeigt dann weiter, wie man aus diesem Winkel und der Höhe des Berges den Radius der Erde durch trigonometrische Rechnung ermittelt. Eine solche Bestimmung hat er wirklich ausgeführt. Er hat in Indien einen Berg, der 652 Ellen über das Meer emporragt, bestiegen und den Winkel gemessen, den die nach dem Horizont gerichtete Sehlinie mit der Horizontalen auf dem Gipfel bildet. Dieser Winkel wurde mit Hilfe des Astrolabs gefunden und belief sich auf 34'. Aus diesem Werte und der Höhe des Berges wurde der Radius und die Länge eines Grades berechnet. Die Berechnung ergab für den Umfang der Erde etwa 5600 Meilen[682], das sind 41550 km.
Auf Befehl des Al Mamûn, der die erwähnte Gradmessung in der Nähe des Roten Meeres anstellen ließ, wurde auch die Schiefe der Ekliptik mit großer Genauigkeit ermittelt. Der gefundene Wert belief sich auf 23° 35'. Heute beträgt er 23° 27'. Die Änderung beläuft sich also in einem Jahrhundert auf etwa 48''.
Die Astronomie fand bei den Arabern eine zusammenfassende Bearbeitung durch den unter Al Mamûn lebenden Alfragani oder Alfergani. Dem Werk, das Melanchthon 1537 unter dem Titel »Alfragani rudimenta astronomiae« aus dem Nachlaß Regiomontans herausgab, lag zwar der Almagest zugrunde, es zeigt aber, daß sein Verfasser ein fleißiger Astronom war, der die Methoden seiner Vorgänger zu verbessern suchte. Auch beschrieb Alfragani die zu seiner Zeit gebrauchten astronomischen Instrumente. Er stellte seine Beobachtungen auf der von Al Mamûn errichteten Sternwarte an und wurde dabei häufig von dem Kalifen unterstützt.
Alfragani wurde weit übertroffen durch den etwa ein Jahrhundert später lebenden Al Battani (Albategnius haben ihn seine Übersetzer genannt). Al Battani war prinzlichen Geblütes und hat sich nicht nur um die Astronomie, sondern auch um die Einführung der trigonometrischen Funktionen große Verdienste erworben. Seine Beobachtungen, die er etwa von 880–910 anstellte, wurden von den Arabern als die genauesten gepriesen. Albattani hat viele Angaben des Ptolemäos nachgeprüft und verbessert. Das von ihm verfaßte Werk »Über die Bewegung der Sterne« erschien in lateinischer Übersetzung und mit Zusätzen Regiomontans im Jahre 1537. Aus diesem Werke ist die Bezeichnung Sinus, für das Verhältnis der halben Sehne zum Radius, in die mathematische Literatur aller Völker übergegangen. Die mit der Anwendung der ganzen Sehnen verknüpfte rechnerische Unbequemlichkeit, welche der Almagest aufwies, kam damit in Fortfall. Die trigonometrischen Sätze nehmen ferner bei Albattani mehr den Charakter für die Rechnung bestimmter Formeln an. Aus sin α/cos α = D wird sin α = D/√(1 + D2) berechnet und α dann in den Sinustafeln aufgefunden. Auch der Bruch cos α/sin α wird einer Rechnung zugrunde gelegt. Bedeutet nämlich α die Höhe der Sonne über dem Horizont und ist h die Höhe eines Schattenmessers, l die Länge des Schattens, dann ist l/h = cos α/sin α = ctg α; oder l = h cotg α.