Wie die Inder durch Einführung der Null und des Positionssystems den größten Fortschritt für die Arithmetik schufen, so erwarben sie sich für die Algebra kein geringeres Verdienst durch die Einführung der Begriffe positiv und negativ. Sogar die Erläuterung dieser Begriffe durch die Worte Schulden und Vermögen, ja ihre Erklärung durch Vorwärts- und Rückwärtsschreiten auf einer gegebenen Strecke war ihnen schon geläufig. Wollte man eine Zahl als negativ bezeichnen, so wurde ein Punkt darüber gesetzt. Selbst bei den Gleichungen wurden negative Lösungen, welche Diophant (350 n. Chr.) noch für unstatthaft erklärte, zugelassen.
Was die arithmetischen und die geometrischen Reihen, die Quadrat- und die Kubikzahlen anbelangt, so konnten die Griechen in dieser Hinsicht von den Indern wenig lernen. Letzteres Volk schuf jedoch die Kombinationslehre und die Anfangsgründe der Algebra. Ferner gelangte man in Indien dadurch über die Lehre von den Potenzen einen Schritt hinaus, daß man für die irrationale Quadratwurzel eine Bezeichnung einführte. An das Erheben in die 2. und die 3. Potenz schlossen die Inder als Umkehrungen dieser Operationen das Ausziehen der Quadrat- und der Kubikwurzel. Hierbei bedienten sie sich schon der binomischen Formeln für (a + b)2 und (a + b)3. Ja, ihre Art, die Wurzeln zu finden, stimmte soweit mit dem heutigen Verfahren überein, daß bei ihnen selbst das Abteilen der zu radizierenden Zahl zu je zwei oder drei Stellen nicht fehlte.
Auf dem Gebiete der Algebra entwickelten die Inder vor allem die Lehre von den Gleichungen verschiedenen Grades. Für die unbekannte Größe wird ein Zeichen gebraucht. Als ein Beispiel zugleich für die poetische Form, in welche die Inder solche Aufgaben einkleideten, diene folgendes: Von einem Schwarm Bienen läßt 1/4 sich auf einer Blume nieder, 2/3 fliegt zu einer anderen Blume, eine Biene bleibt übrig, indem sie gleichsam durch den lieblichen Duft beider Blumen angezogen in der Luft schwebt. Sage mir, reizendes Weib, die Anzahl der Bienen.
Noch bedeutender waren die Leistungen der Inder in der Theorie der Zahlen, doch würde ein näheres Eingehen auf diese Seite der Mathematik zu weit von dem Zwecke dieses Buches entfernen, das die Mathematik nur insoweit berücksichtigen will, als sie für die Entwicklung der Naturwissenschaften von Bedeutung gewesen ist. Für die Auflösung von kubischen Gleichungen findet sich bei den Indern wie bei Diophant nur ein vereinzeltes Beispiel.
Nicht uninteressant ist ein kurzer Überblick über den Umfang der indischen Arithmetik. Sie umfaßte zwanzig Operationen und acht Bestimmungen, die jedem Meister der Rechenkunst geläufig sein mußten[147]. Zu den 4 Grundrechnungsarten, dem Potenzieren und dem Wurzelziehen traten 6 Operationen mit Brüchen und 5 als einfache und zusammengesetzte Regeldetri; ferner gab es eine Regel über den Tausch. Die Bestimmungen betrafen Mischungen, Flächen- und Körperinhalte, Zinsberechnung, Schattenrechnung usw. Nach Burkhardt (Wie man vor Zeiten rechnete, Zeitschr. f. d. math. u. naturw. Unterr. 1905. 1. Heft) läßt sich annehmen, daß seit dem 5. Jahrhundert n. Chr. in Indien im wesentlichen ebenso gerechnet wurde, wie heute bei uns. Auch steht fest, daß die Araber ihre Ziffern und ihre Rechenmethode von den Indern erhalten haben.
Was man in den Sanskritwerken an geometrischen Lehren angetroffen hat, ist weniger bedeutend und nach Cantor wohl zum Teil auf alexandrinischen Ursprung, insbesondere auf Heron zurückzuführen[148]. Davon, daß die Inder mit den Kegelschnitten bekannt gewesen, findet sich nirgends eine Andeutung. Dieser Teil der Geometrie ist ausschließlich griechischen Ursprungs. Dagegen blieb es den Indern als dem vorwiegend für die Arithmetik veranlagten Volke vorbehalten, die ersten allgemeinen Sätze der Kombinationslehre zu finden, eine Errungenschaft, zu der die Griechen, soweit unsere Kenntnis reicht, nicht durchgedrungen sind.
Einen wesentlichen Fortschritt erfuhr die Trigonometrie bei den Indern, indem sie für die Sehne des Winkels deren Hälfte und somit den Sinus einführten. Es war dies ein Fortschritt, den erst die Araber in seiner vollen Bedeutung erkannten und zur Geltung brachten.
Die erste indische Sinustabelle begegnet uns um 500 n. Chr.[149]. Der Kreis hat dort wie bei den Babyloniern und den Alexandrinern 360 gleiche Teile. Jeder Teil zerfällt in 60 kleinere Abschnitte (unsere Minuten), von denen der ganze Kreis also 60 · 360 = 21600 enthält. Der Radius wird durch diese kleinsten Teile des Kreises gemessen. Nach einem von den Indern für das Verhältnis der Peripherie zum Durchmesser angenommenen Werte ergab sich für den Radius die Zahl 3448. Da der Sinus, als halbe Sehne des doppelten Winkels betrachtet, für 90° gleich dem Radius wird, so erscheint für 90° in der Tabelle jener Wert 3448. Für sin 60° wird 2978, für sin 30° wird 1719 angegeben.
In bezug auf die Naturwissenschaften besaßen die Inder zwar zahlreiche Einzelkenntnisse. Zur Aufstellung naturwissenschaftlicher Lehrgebäude gelangten sie indessen ebensowenig wie die Babylonier oder die Ägypter. Diese Tat blieb vielmehr den Griechen vorbehalten. In physikalischer Hinsicht ist erwähnenswert, daß die Kenntnis des Brennglases und der Brennspiegel bei den Indern sehr weit zurückreicht. So erwähnt eins ihrer ältesten Bücher[150], daß getrockneter Mist sich entzünde, wenn man die Sonnenstrahlen mittelst eines Steines oder Glases oder auch eines Metallgefäßes darauf werfe[151]. Übrigens kannten die Griechen im Zeitalter des Aristoteles gleichfalls schon die Feuererzeugung mit Hilfe eines durchsichtigen Steines[152]. Auf Grund einiger Sanskritstellen hat man den alten Indern die Kenntnis des Schießpulvers zugeschrieben. So wird ein König aus dem dritten vorchristlichen Jahrhundert genannt, der »Feuerwerke« angeordnet habe. Daraus aber auf eine so frühzeitige Kenntnis der Inder zu schließen, erscheint doch recht gewagt[153].
Daß die so überaus üppige Natur eines Landes wie Indien ein frühzeitiges Emporblühen der Pflanzenkunde und einer auf ihr beruhenden Heilkunde hervorrief, ist leicht erklärlich. In der Sanskritliteratur fehlt es daher nicht an Werken, die eine große Menge von Heilmitteln, Nahrungsmitteln und Giften anführen. Es ist jedoch nur selten möglich, die Art, um die es sich handelt, zu bestimmen. Am häufigsten wird Nelumbium speciosum, eine prächtige Seerose, erwähnt. Neben den Pflanzen wurden aber auch Metalle und Chemikalien von den alten Indern zu Heilzwecken verwendet. Am ausführlichsten berichtet über den Stand ihrer naturwissenschaftlichen und medizinischen Kenntnisse die Ayur-Veda Susrutas. Das Werk umfaßt sechs Bücher, die sich im wesentlichen mit der Lehre von den Heilmitteln, der Anatomie, der Pathologie und der Therapie beschäftigen. Das Knochensystem des Menschen enthält nach Susrutas Aufzählung 300 Knochen. In der Schule des Susruta wurden schon Leichen zergliedert und in fließendem Wasser präpariert.