Spätere Mathematiker, unter denen vor allen Platons Schüler Menächmos (etwa 350 v. Chr.) zu nennen ist, gelangten durch die Beschäftigung mit dem delischen Problem über die Geometrie der Geraden und des Kreises hinaus zu den für die Astronomie und die Mechanik so überaus wichtigen, als Parabel, Ellipse und Hyperbel bezeichneten Kurven.
Ausgehend von der schon Hippokrates geläufigen Proportion a : x = x : y = y : b, in welcher b für den besonderen Fall der Würfelverdoppelung gleich 2a ist, erkannte Menächmos, daß die aus jener Proportion folgenden Ausdrücke x2 = ay und y2 = bx zu einer neuen Kurve führen. Beide Ausdrücke sind nämlich in der Form gleich und enthalten daher auch die gleiche Forderung. Ins Geometrische übersetzt bedeuten sie nämlich, an eine Gerade ein Rechteck (ay) so anzutragen (παραβύλλειν), daß der Inhalt einem Quadrate (x2) gleich ist.
Abb. 13. Konstruktion zur Lösung des delischen Problems.
Menächmos erkannte, daß der geometrische Ort für die Schnittpunkte aller, dieser Bedingung genügenden Rechtecke eine vom Kreise abweichende krumme Linie bildet, die später wegen des Antragens (παραβολή) des Rechteckes an die Gerade den Namen Parabel erhielt. Er zeigte weiter, daß sich der für die Würfelverdoppelung gesuchte Wert x als Schnittpunkt einer Parabel mit einer Hyperbel oder als Schnittpunkt zweier Parabeln ermitteln läßt. Doch würde ein weiteres Eingehen auf diese Konstruktionen hier zu weit führen. Jedenfalls steht fest, daß Menächmos mit einer punktweisen Konstruktion beider Kurven und mit ihren Grundeigenschaften, ja sogar mit den Asymptoten der Hyperbel bekannt war[217]. Die Beziehung der von ihm untersuchten Kurven zur Kegeloberfläche hat Menächmos wahrscheinlich noch nicht erkannt, jedenfalls gelangte er zu diesen Kurven, indem er sich bemühte, für einen arithmetischen Ausdruck den zugehörigen geometrischen Ort zu bestimmen[218].
Auch die Aufgabe, einen Winkel in drei gleiche Winkel zu zerlegen, führte, wie das delische Problem, auf kubische Gleichungen und höhere Kurven. So gelang es um 400 v. Chr.[219] die Dreiteilung des Winkels mit Hilfe der Quadratrix genannten Kurve auszuführen[220].
Die Beschäftigung mit dem delischen Problem und den Kegelschnitten führte im Verlauf der ersten Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. auch zu einem tieferen Eindringen in die Wahrheiten der Stereometrie. Vor allem sehen wir Platon und seine Schüler auf diesem Gebiete tätig. Auf den unbefriedigenden Zustand dieser Wissenschaft wies er mit folgenden Worten hin: »Hinsichtlich der Messungen von allem, was Länge, Breite und Höhe hat, legen die Griechen eine in allen Menschen von Natur vorhandene, aber ebenso lächerliche wie schmähliche Unwissenheit an den Tag«. Platon gebührt aber auch das allgemeinere Verdienst, die mathematische Methode dadurch verbessert zu haben, daß er jeden Satz auf Vordersätze zurückführte, bis er endlich zu Axiomen und Definitionen als den, weitere Voraussetzungen entbehrenden Grundlagen der Mathematik gelangte. Auch die Erfindung des indirekten Beweisverfahrens wird Platon zugeschrieben[221].
Unter den stereometrischen Sätzen, welche die platonische Schule auffand, verdienen besonders zwei hervorgehoben zu werden. Es ist das der Satz von der Raumgleichheit der Pyramide mit dem dritten Teile des Prismas von gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Ferner erkannte man, daß Kugeln sich in bezug auf den Rauminhalt wie die dritten Potenzen ihrer Durchmesser verhalten[222]. Um jene Zeit scheint auch die Entdeckung stattgefunden zu haben, daß Ellipse, Parabel und Hyperbel wie der Kreis als Kurven auf der Kegeloberfläche (Kegelschnitte) entstehen, wenn man Ebenen in verschiedener Neigung zur Kegelachse durch den Kegel legt[223].
Die Anfänge der griechischen Astronomie[224].
Nicht so erfolgreich wie auf den Gebieten der Philosophie und der Mathematik sind die Griechen während dieser Periode in der Astronomie gewesen. Die Anfänge dieser Wissenschaft verdankten sie den Sternwarten Mesopotamiens, so die Kenntnis der Ekliptik, der Tierkreiszeichen, der Planetenreihe usw. Auch das Duodezimal- sowie das Sexagesimalsystem und die auf diesen Systemen beruhenden Maße gelangten über die ionischen Städte, welche dem babylonischen Einfluß weit geöffnet waren, nach Griechenland[225]. Große Schwierigkeiten bereitete den Griechen ihre Zeitrechnung, der sie anfangs die Bewegung des Mondes zugrunde legten. Man sah dieses Gestirn in rascher Folge einen Wechsel von Lichtgestalten durchlaufen und gelangte dadurch zur Aufstellung des synodischen Monats, dessen Dauer 29 Tage 12 Stunden und 44 Minuten beträgt. Es ist nun sehr wahrscheinlich, daß der erste Versuch, die Rechnung nach Mond und Sonne zu regeln, zur Festsetzung eines Zeitraums von 12 Monaten zu 30 Tagen führte. Ein solcher Kalender konnte den Bedürfnissen jedoch nicht lange genügen, da er dem tatsächlichen Verlauf der himmlischen Bewegungen zu wenig entsprach. Der nächste Schritt bestand deshalb darin, daß man den Monat abwechselnd zu 29 und 30 Tagen rechnete. Dadurch wurde das Jahr aber auf 354 Tage verkürzt. Mit diesem Zeitabschnitt rechneten die Griechen, bis Solon den bedeutenden Ausfall, den man erlitten, dadurch ausglich, daß er jedem zweiten Jahre einen vollen Monat von 30 Tagen zulegte. Auf das Jahr kamen also im Mittel (2 · 354 + 30)/2 = 369 Tage, was noch immer eine starke Abweichung von der wirklichen Dauer bedeutete. Einer der ersten, der sich (um 460 v. Chr.) bemühte, die Kalenderrechnung durch einen besseren Ausgleich zwischen dem Mondumlauf und dem Sonnenjahr zu regeln, war der Astronom Oenopides auf Chios, zu dessen Schülern wahrscheinlich Hippokrates von Chios zählte. Oenopides setzte 730 Mond-Monate 59 Sonnen-Jahren gleich und kam so zu einer Jahreslänge von 365,373 Tagen. Er soll auch viel zur Übermittlung der ägyptischen und babylonischen Astronomie beigetragen und den aus gleichen Abschnitten bestehenden Tierkreis in Griechenland eingeführt haben. Auch dadurch hat er sich einen Namen gemacht, daß er die regelmäßig wiederkehrenden Nilschwellen auf kosmische Ursachen zurückführte.