Auch mit Schwerpunktsbestimmungen befaßte sich Archimedes. So war ihm bekannt, daß der Punkt, in welchem sich zwei Seitenhalbierende treffen, der Schwerpunkt des Dreiecks ist. Überhaupt erweisen sich die mathematischen Hilfsmittel des Archimedes den ihn beschäftigenden mechanischen Problemen gegenüber als der überlegene Teil, während in der neueren Periode mitunter das umgekehrte Verhältnis obwaltete, so daß der von Leibniz herrührende Ausspruch: »Wer in die Werke des Archimedes eindringt, wird die Entdeckungen der Neueren weniger bewundern« wohl gerechtfertigt erscheint.
Fortschritte der Optik und Akustik.
Durch die bedeutenden Fortschritte der Mathematik wurden vor allem die Physik, die Astronomie und die mathematische Geographie gefördert. Die ältesten Ansichten über den Schall und über das Licht haben wir bei den Pythagoreern und bei Aristoteles kennen gelernt. Den Alexandrinern, die ja besonders zur Zusammenfassung des Wissens neigten, verdanken wir die erste zusammenfassende Bearbeitung der Optik. Diese Bearbeitung wird dem Euklid zugeschrieben. Sie erfolgte in zwei Büchern, der »Optik« und der »Katoptrik«, und ist wohl der erste Versuch, die Geometrie, unter Benutzung des Satzes von der geradlinigen Fortpflanzung des Lichtes und des Reflexionsgesetzes, auf die Erklärung der scheinbaren Größe, der Gestalt, der Spiegelung und anderer optischen Erscheinungen anzuwenden[407]. Von Interesse ist der Satz[408], daß »von Hohlspiegeln, welche gegen die Sonne gehalten werden, Feuer erzeugt wird«. Doch wird irrtümlich behauptet, die Entzündung erfolge im Krümmungsmittelpunkt.
Abb. 18. Das Verhalten des Hohlspiegels nach Euklid[410].
Euklid sucht dies geometrisch durch obige Figur[409] ([Abb. 18]) darzutun und bemerkt zu seiner Konstruktion: »Alle Strahlen, die von der Sonne (ΔΕΖ) aus durch das Zentrum Θ des Spiegels (ΑΒΓ) gehen, fallen in das Zentrum Θ zurück. Durch diese Strahlen wird daher im Zentrum die Sonnenwärme gesammelt und infolgedessen ein dort befindlicher Körper entzündet.« Die Annahme, daß die Sonnenstrahlen parallel in den Hohlspiegel fallen, hätte Euklid zur Auffindung des richtigen Verhältnisses leiten müssen. Den Irrtum Euklids erkannte schon Apollonios[411].
Die Spiegelung an Konkav- und Konvexspiegeln wird von Euklid dahin erläutert, daß an ihnen, wie an ebenen Spiegeln, die Strahlen unter gleichen Winkeln zurückgeworfen werden. Zur Erläuterung dient folgende Abbildung[412]. Auch mit einem der bekanntesten Versuche über die Brechung des Lichtes war Euklid schon vertraut. Er berichtet darüber mit folgenden Worten[413]: »Legt man einen Gegenstand auf den Boden eines Gefäßes und schiebt letzteres so weit zurück, daß der Gegenstand eben verschwindet, so wird dieser wieder sichtbar, wenn wir Wasser in das Gefäß gießen.«
Abb. 19. Die Spiegelung an einem Konkav- (links) und an einem Konvex-Spiegel (rechts) nach der Darstellung Euklids.
Wie die Geometrie von gewissen Grundsätzen ausgeht, die sich auf wenige Axiome zurückführen lassen, so geht auch die Optik Euklids von einer Anzahl – es sind acht – Grunderfahrungen aus, aus denen Euklid seine Theoreme durch geometrische Konstruktion ableitet. Die wichtigsten der von Euklid hervorgehobenen optischen Grundtatsachen sind die folgenden: Die Lichtstrahlen[414] sind gerade Linien. Die von den Strahlen eingeschlossene Figur ist ein Kegel, dessen Spitze im Auge liegt, während der Grundfläche dieses Kegels die Umgrenzung des gesehenen Gegenstandes entspricht. Unter größerem Winkel gesehene Gegenstände erscheinen größer als unter kleinerem Winkel gesehene, oder die scheinbare Größe eines Gegenstandes hängt von dem Sehwinkel ab.