Zunächst ist hervorzuheben, daß Gauß seine Methode der kleinsten Quadrate für geodätische Zwecke in die Form brachte, in der sie seitdem in der Geodäsie allgemein angewandt wird.
Mit den Aufgaben der höheren Geodäsie hängen zwei wichtige mathematische Abhandlungen zusammen, die Gauß in den zwanziger Jahren des 19. Jahrhunderts veröffentlichte. Die erste dieser Abhandlungen steht mit der Kartenprojektion in enger Beziehung. Sie wurde durch eine von der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Kopenhagen im Jahre 1822 gestellte Preisaufgabe veranlaßt und enthält die allgemeine Lösung folgender Aufgabe: Die Teile einer gegebenen Fläche sind auf einer anderen gegebenen Fläche so abzubilden, daß die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Teilen ähnlich wird. Diese für die Kartographie grundlegende Aufgabe hatte sich schon Lambert gestellt[545]. Er hatte sich jedoch auf die Kugeloberfläche und die Ebene beschränkt und eine allgemeine Lösung nicht zu geben vermocht. Sie blieb den großen Mathematikern Lagrange und Gauß vorbehalten[546]. Die geforderte Art der Abbildung hat Gauß als »konform« (neuerdings sagt man »winkeltreu«) bezeichnet. Nachdem Gauß die allgemeine Auflösung des Problems gegeben, betrachtet er einige besondere Fälle. Er untersucht die konforme Abbildung von ebenen Flächenstücken aufeinander und zeigt, wie man eine Karte, die in den Einzelheiten gut, im ganzen aber etwas verzerrt ist, in eine bessere verwandeln kann, wenn man die richtige Lage einer Anzahl von Punkten kennt. Es folgen die Darstellung eines Kegels, einer Kugel und eines Rotationsellipsoids in der Ebene. Den Schluß bildet die Darstellung des Rotationsellipsoids auf einer Kugelfläche. Durch diese Ableitungen von konformen Abbildungen wurden die umständlichen Rechnungen auf dem Erdsphäroid weit einfacher gestaltet als es bei den bisherigen Methoden möglich war.
In einem, wenn auch weniger engen Zusammenhange mit den Aufgaben der höheren Geodäsie steht die von Gauß im Jahre 1827 herausgegebene Flächentheorie[547]. Gauß beschäftigt sich in dieser Abhandlung besonders mit der Krümmung der Flächen. Er führt vor allem den Begriff des Krümmungsmaßes ein, indem er die Teile der krummen Fläche mit dem entsprechenden Oberflächenstück einer festen Hilfskugel vergleicht. Es ist leicht ersichtlich, daß letzteres Stück um so kleiner sein wird, je weniger das entsprechende Stück der krummen Fläche von der Ebene abweicht. Außer dem Krümmungsmaß betrachtet Gauß in der erwähnten Abhandlung die Konstruktion von Figuren auf krummen Flächen, die Winkel und den Flächeninhalt solcher Figuren, die Verbindung von Flächenpunkten durch kürzeste Linien usw., alles Aufgaben, die für die Geodäsie von der größten Bedeutung sind. Insbesondere gilt dies von der Untersuchung der durch kürzeste Linien gebildeten Dreiecke, durch welche die sphärische Trigonometrie gefördert wurde. Solche Linien hat man geodätische Linien und die aus ihnen gebildeten Dreiecke geodätische Dreiecke genannt. Von den Gaußschen Sätzen über geodätische Linien und Dreiecke sind vor allem folgende wichtig: Wenn auf einer krummen Fläche von einem Punkte aus ein System geodätischer Linien von gleicher Länge gezogen wird, so steht die ihre Endpunkte verbindende Linie zu allen Linien des Systems senkrecht[548]. Zieht man auf einer krummen Fläche eine beliebige Linie und läßt man von dieser Linie unter rechten Winkeln und nach derselben Seite hin ein System geodätischer Linien von gleicher Länge ausgehen. so schneidet die Kurve, welche ihre Endpunkte verbindet, sämtliche geodätische Linien rechtwinklig[549].
Besondere Erwähnung verdient auch der Satz, daß der Überschuß der Summe der Winkel eines aus geodätischen Linien gebildeten Dreiecks über zwei Rechte der Gesamtkrümmung des Dreiecks gleich ist[550]. Für eine ganze Reihe weiterer geodätischer Untersuchungen ist der am Schlusse der Abhandlung geführte Vergleich der geodätischen Dreiecke mit geradlinigen Dreiecken von gleicher Seitenlänge grundlegend gewesen.
Die beiden soeben nach Ziel und Inhalt kurz charakterisierten Abhandlungen über die konforme Abbildung von Flächen (Kartenprojektion) und die Linien und Stücke krummer Flächen (geodätische Linien und Dreiecke) können als Bruchstücke eines größeren Werkes betrachtet werden, das Gauß über die Geodäsie zu schreiben gedachte. Dies Werk sollte nach Art des von ihm geschaffenen astronomischen Hauptwerkes, der Theoria motus corporum coelestium vom Jahre 1809, die gesamten Grundlagen der Geodäsie entwickeln und die Triangulation des Königsreichs Hannover als großes Beispiel, an welchem die Theorien erläutert werden sollten, enthalten. Leider ist dieser Plan nicht zur Ausführung gekommen. Trotzdem sind die Verdienste, die sich Gauß um die Entwicklung der Geodäsie erworben, unübertroffen. Durch ihn wurde diese Wissenschaft, die bisher nicht viel mehr als gewöhnliche Feldmeßkunst gewesen, der Astronomie im Range gleichgestellt. So wurde z. B. bei jener Triangulation das sphärische Dreieck, dessen Fläche sich auf 53 Quadratmeilen belief, mit einer solchen Genauigkeit gemessen, daß die wirkliche Winkelsumme von der berechneten nur um zwei Zehntel Sekunden abwich[551]. Um Dreiecke von solcher Größe ausmessen zu können, schuf Gauß in dem Heliotrop einen neuen geodätischen Apparat. Seine Konstruktion stützt sich auf einen katoptrischen Satz, der aus Abb. [58] leicht ersichtlich ist. Er lautet: Wenn von einem genügend weit entfernten, leuchtenden Punkte ein Strahl SA auf zwei zu einander senkrecht stehende Spiegel (MN und PQ) fällt, so wird er nach entgegengesetzten Richtungen AC und AB reflektiert[552].
Eine solche Spiegelkombination brachte Gauß vor seinem bei Vermessungen dienenden Fernrohr an. Die Kombination wurde so gedreht, daß der eine Strahl, z. B. AC, in die Achse des Fernrohrs gelangte. In diesem Falle wurde der andere Strahl AB nach dem Orte hingeworfen, nach dem das Fernrohr gerichtet war und konnte dort zur Einstellung eines zweiten Fernrohrs benutzt werden. Natürlich mußten in dem Spiegelapparat geeignete Öffnungen freigelassen werden, durch welche die Achse des Fernrohrs hindurchging. Gauß erfand das Heliotrop im Jahre 1821. Er konnte es also für die vorzunehmende Triangulation sofort zur Verfügung stellen.
Abb. 58. Das dem Gauß'schen Heliotrop zu Grunde liegende Gesetz.
Nicht nur die Meßkunst, sondern auch das praktische Rechnen erfuhr durch Gauß eine wesentliche Förderung. Dies geschah dadurch, daß er Tafeln zur bequemen Berechnung der Logarithmen von Summen oder Differenzen zweier Größen, die selbst nur durch ihre Logarithmen gegeben sind, herausgab. Gauß wandte sich auch gegen den zwecklosen Gebrauch vielstelliger Logarithmentafeln. Es kamen zehn-, vierzehn-, selbst zwanzigstellige vor. Gauß sprach sich für den Gebrauch von fünfstelligen Tafeln aus, weil die Fälle, wo sie ausreichen, häufig, ja die häufigsten seien und so scharfe Rechnungen, welche den Gebrauch vielstelliger Tafeln rechtfertigen würden, in der Praxis des Astronomen nicht vorkämen.