Es ist zweitens zu beweisen, dass von der 0 das gilt, was in den eben ausgesprochenen Sätzen von d und von a ausgesagt ist, und dann zu folgern, dass es auch von n gilt, wenn n der mit 0 anfangenden natürlichen Zahlenreihe angehört. Diese Schlussweise ist eine Anwendung der Definition, die ich von dem Ausdrucke
»y folgt in der natürlichen Zahlenreihe auf x«
gegeben habe, indem man als Begriff F jene gemeinsame Aussage von d und von a, von 0 und von n zu nehmen hat.
§ 83. Um den Satz (1) des vorigen § zu beweisen, müssen wir zeigen, dass a die Anzahl ist, welche dem Begriffe »der mit a endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend, aber nicht gleich a« zukommt. Und dazu ist wieder zu beweisen, dass dieser Begriff gleichen Umfanges mit dem Begriffe »der mit d endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend« ist. Hierfür bedarf man des Satzes, dass kein Gegenstand, welcher der mit 0 anfangenden natürlichen Zahlenreihe angehört, auf sich selbst in der natürlichen Zahlenreihe folgen kann. Dies muss ebenfalls mittels unserer Definition des Folgens in einer Reihe, wie oben angedeutet ist, bewiesen werden[96].
Wir werden hierdurch genöthigt, dem Satze, dass die Anzahl, welche dem Begriffe
»der mit n endenden natürlichen Zahlenreihe angehörend«
zukommt, in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf n folgt, die Bedingung hinzuzufügen, dass n der mit 0 anfangenden natürlichen Zahlenreihe angehöre. Hierfür ist eine kürzere Ausdrucksweise gebräuchlich, die ich nun erkläre:
der Satz
»n gehört der mit 0 anfangenden natürlichen Zahlenreihe an«