Man beachte, daß im Gegensatze dazu bei der orthogonalen Projektion nach [Satz 3 (S. 7)] parallele Gerade im Raume auch stets Bilder haben, die wieder parallel sind. Die [Figur 12] liefert uns auch sofort ein Beispiel für die Anwendung dieses Fluchtpunktsatzes. Betrachten wir an dem dort dargestellten Würfel die 4 Kanten ba, cd, gh, fe, so erkennt man leicht, daß dieses 4 parallele Gerade sind. A ist offenbar der gemeinsame Fluchtpunkt derselben, und die Bilder b'a', c'd', g'h', f'e' laufen demnach verlängert durch A.
Eine aufmerksame Betrachtung der [Fig. 12] kann uns übrigens darüber belehren, daß es doch parallele Gerade gibt, deren Bilder auch wieder parallel sind. So sind die vier Geraden bc, ad, eh, fg offenbar im Raume parallel, und ihre Bilder b'c', a'd', e'h', f'g' sind ebenfalls parallel. Die gleiche Eigenschaft zeigen die vier Kanten ae, bf, cg, dh. Betrachten wir nun, um dies klar zu übersehen, eine Gerade G, welche zur Bildebene Π parallel ist ([Fig. 15]). Das Bild G' derselben ergibt sich wieder, wenn wir nach allen möglichen Punkten von G die Projektionsstrahlen legen und diese mit der Tafel zum Schnitt bringen. Alle diese Strahlen bilden aber eine Ebene, und diese projizierende Ebene schneidet aus Π das Bild G' aus. Wenn wir nun angenommen haben, daß die Gerade G zur Bildtafel Π parallel ist, so heißt das, daß sie die Bildtafel nicht schneidet. Die Gerade G kann also auch G' nicht schneiden oder mit anderen Worten: es ist G parallel G'.
Ist nun H eine zweite zu G parallele Gerade, so folgt ganz in der gleichen Weise, daß auch H parallel zu H' ist, und daraus folgert man sofort, daß auch G' parallel H' ist. Diese beiden parallelen Geraden G und H haben also parallele Bilder G' und H'. Allgemein kann man diesen besonderen Fall des Fluchtpunktsatzes aussprechen als
Satz 10. »Parallele Geraden, welche überdies zur Bildebene parallel laufen, haben auch parallele, perspektivische Bilder; die Bilder solcher Geraden sind zu den Geraden selbst parallel.«
Fig. 16.
12. Das Fluchtpunktgesetz in der Erscheinungswelt. Der Begriff der Zentralprojektion war abgeleitet aus dem Vorgang des Sehens, den wir jetzt etwas genauer untersuchen müssen. Das menschliche Auge entwirft von beleuchteten Gegenständen, die sich vor ihm befinden, auf der im Hintergrunde des Auges befindlichen Netzhaut kleine Bildchen, die dadurch entstehen, daß man die Punkte des Gegenstandes aus einem bestimmten, im Auge gelegenen Punkte o auf die Netzhaut projiziert. In [Fig. 16] ist das allerdings in ganz unrichtigen Größenverhältnissen wiedergegeben. Als Objekte sind die beiden parallelen Pfeile ab und cd gewählt. o ist das Zentrum, und die von o nach den Punkten a, b, c, d gehenden Strahlen schneiden die Netzhaut in den Punkten a', b', c', d'. So entstehen die Bildchen a'b' und c'd'. In zweierlei Hinsicht unterscheidet sich freilich die hier zur Verwertung kommende Perspektive von der von uns betrachteten. Erstens tritt an Stelle der ebenen Bildtafel die kugelförmig gewölbte Netzhaut, und zweitens befinden sich Gegenstand und auffangende Fläche auf verschiedenen Seiten des Zentrums o. Das letztere äußert sich dadurch, daß die Bildchen auf der Netzhaut verkehrt sich ausbilden. So sind z. B. die Pfeilspitzen a', c' unten gelegen. Mit dem Augenspiegel kann man das direkt beobachten. Denkt man sich weiter durch o die Parallele zu ab gezogen, so schneidet diese die Netzhaut in einem Punkte f, den wir als den Fluchtpunkt aller zu ab parallelen Linien bezeichnen müssen. Je länger der Pfeil ab ist, desto mehr strebt das Bildchen a'b' dem Punkte f zu. Die beiden Bilder a'b' und c'd' laufen verlängert durch f, und diese Tatsache drückt sich auch in unserem Wahrnehmungsbild aus, indem sich die beiden Pfeile zu nähern scheinen. In der Tat kann man das auf Schritt und Tritt beobachten. Wenn eine Straße auf eine lange Strecke geradlinig verläuft, so scheinen die Häuser am Ende derselben zusammenzurücken, ebenso die Trambahnschienen und die Gesimslinien ihrer Gebäude. Eine geradlinige Allee schließt sich scheinbar in der Ferne, in gleicher Weise ein sehr langer Korridor. Am großartigsten zeigt sich die Erscheinung, wenn die Sonnenstrahlen durch eine Wolkenlücke brechen. Sie werden dann in ihrem geradlinigen Verlauf sichtbar, indem sie die Wolken oder andere Teile der Landschaft beleuchten. Die Strahlen, die durch die Lücke hindurchgehen, sind nun parallel, da wir Strahlen, die von einem Punkte der Sonne ausgehen, als parallel betrachten müssen. Für unser Auge aber scheinen diese Strahlen von einem Punkte auszugehen, eben dem Fluchtpunkte derselben. So bringt uns unser Auge den Satz vom Fluchtpunkte fast in jedem Moment zum Bewußtsein und wir können nicht über die Straße gehen, ohne ihn zu erleben. Das ganze Weltbild, das wir beständig vor Augen haben, wird durch dieses Gesetz wesentlich beeinflußt.
§ 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes.
Fig. 17.