13. Die festen Elemente. Wir wollen nun einen anderen Weg einschlagen, um perspektivische Bilder von Körpern zu zeichnen, indem wir den Satz vom Fluchtpunkt jetzt so viel als möglich heranziehen. Es ist dann zunächst nötig, eine Anzahl fester Elemente einzuführen, auf die wir die Darstellung beziehen. Die Bildebene oder Tafel denken wir uns wieder als eine lotrechte Ebene. Die darzustellenden Gegenstände werden sich nun in den meisten Fällen auf einer horizontalen Bodenfläche befinden; wir führen dementsprechend eine zur Tafel senkrechte, wagrechte Ebene ein, die wir kurz die »Grundebene« nennen. Die Figuren [17] und [18] geben wieder eine Ansicht aller zu benutzenden Gebilde. Die Grundebene Π1 wird die Tafel Π in einer Geraden gg schneiden, welche »Grundlinie« heißen soll. Von dem im Raume gegebenen Auge O fällen wir eine Senkrechte auf die Tafel, deren Fußpunkt der schon erwähnte »Haupt«- oder »Aug«-Punkt A ist. Da die Linie OA demnach parallel zur Grundebene verläuft, so kann man durch OA eine Ebene legen, welche parallel zur Grundebene ist. Diese Parallelebene schneidet aus der Tafel eine Linie hh aus, welche parallel zur Grundlinie gg sein muß und bereits als der »Horizont« bezeichnet wurde. Die Parallelebene selbst hieß die »Horizontebene«. Der Abstand des Horizonts von der Grundlinie oder, was das gleiche ist, der Abstand der Horizontebene von der Grundebene wird die »Augenhöhe« genannt. Endlich tragen wir noch die Distanz OA vom Augpunkt aus nach beiden Seiten auf dem Horizont ab, wodurch wir die Punkte D1 und D2 erhalten. Diese heißen die »Distanzpunkte«. Da also AD1 = AO = AD2, so sind die Dreiecke D1OA und D2OA beide gleichschenklig rechtwinklig, und es ist ∢ AD1O = ∢ AD2O = 45°.

In der Zeichenebene geben wir uns also ([Fig. 19]) zwei parallele Linien hh und gg und auf der oberen den Punkt A sowie im gleichen Abstande rechts und links die Punkte D1 und D2. Die Lage des Auges im Raume ist damit festgelegt: es liegt auf der Senkrechten, die wir uns im Punkte A zur Zeichenebene errichtet denken, und zwar in einem Abstande von A, der gleich AD1 oder AD2 ist.

Durch die Annahme dieser Elemente ist nun bereits eine ganze Anzahl von Richtungen bestimmt. Eine auf der Zeichenebene senkrechte Gerade T liefert uns die Ausdehnung des Gegenstandes nach der »Tiefe« zu, wie wir ja auch von der Tiefe eines Kastens oder einer Bühne sprechen und darunter die Abmessung verstehen, die lotrecht zur Vorderfläche erfolgt. Wir nennen aus diesem Grunde jede auf der Bildebene senkrechte Gerade T eine »Tiefenlinie« ([Fig. 18] oben). Die durch das Auge O zu einer solchen Tiefenlinie gelegte Parallele wird dann aber immer der Strahl OA, und folglich ist nach [Satz 7] A ihr Fluchtpunkt. Damit haben wir aber bewiesen:

Satz 11. »Der Augpunkt A ist der Fluchtpunkt für alle Tiefenlinien, d. h. die Bilder aller Tiefenlinien gehen verlängert durch den Augpunkt.«

Der Augpunkt beherrscht deswegen die ganze Darstellung und legt die im Bilde fehlende dritte Dimension fest.

Um die Bedeutung des Horizontes zu erkennen, erinnern wir zunächst an folgenden Satz aus der Stereometrie: »Ist eine Ebene Π1 gegeben und außerhalb derselben ein Punkt O, so gibt es durch O nur eine Ebene, welche zu Π1 parallel ist.«

Diese Behauptung kann man auch durch folgende andere ersetzen: »Zieht man in der Ebene Π1 irgendwelche Gerade und zeichnet durch O die Parallelen zu derselben, so liegen alle diese Parallelen in einer Ebene, eben in der Parallelebene durch O zu Π1.« Ist also G irgendeine Gerade der Grundebene ([Fig. 17]) und ziehen wir zu ihr durch O die Parallele, so liegt diese in der Horizontebene, der Schnittpunkt f der Parallelen mit der Tafel muß demnach auf hh gelegen sein; er ist aber der Fluchtpunkt der Geraden G; mit anderen Worten:

Satz 12. Alle in der Grundebene gelegenen Geraden haben ihre Fluchtpunkte auf dem Horizonte.

A ist im besonderen der Fluchtpunkt aller zur Grundlinie gg senkrechten Geraden der Grundebene, was wir ja schon wissen. Zeichnen wir ferner in der Grundebene ein Quadrat abcd ([Fig. 18]), das mit einer Seite ab in der Grundlinie liegt. Dann schließen die Linien ac und bd, die sog. Diagonalen des Quadrates, mit der Grundlinie Winkel von 45° ein. Man vgl. auch [Fig. 19], in welcher unten das Quadrat (a)(b)(c)(d) in seiner wahren Gestalt zu sehen ist. Es ist aber klar, daß die Linie OD1 parallel zu bd und OD2 parallel zu ac; D1 und D2 sind die Fluchtpunkte der Diagonalen des Quadrates und aller zu diesen beiden Geraden parallelen Geraden der Grundebene d. h.

Satz 13. »Alle Linien der Grundebene, welche mit der Grundlinie den Winkel von 45° nach der einen oder anderen Seite einschließen, haben die Distanzpunkte bzw. zu Fluchtpunkten.«