Darnach scheint dieselbe rationelle und mystische Elemente in wunderlichstem Grade verquickt zu haben. Einerseits müssen wir annehmen, daß die Mathematik und zwar die Geometrie in erster Linie ihm nicht unbedeutende Fortschritte verdankt. Bekannt ist ja die Erzählung, daß er den wichtigen nach ihm benannten Satz von der Flächengleichheit des Hypotenusenquadrats und der Kathetenquadrate entdeckt und zum Dank dafür den Göttern eine Stierhekatombe geopfert hat, woher das bon mot, daß seitdem alle Ochsen zittern, so oft eine neue Wahrheit entdeckt wird.
Auch werden die einfachsten Zahlenbestimmungen der musikalischen Harmonie auf ihn zurückgeführt. Die Beobachtung der letzteren hat vermutlich den Ausgangspunkt seiner Grundlehre gebildet.
Weil die Pythagoräer zwischen den Zahlen und den Dingen manche Ähnlichkeit entdeckten, sagt Aristoteles[554], so hielten sie die Elemente der Zahlen für die Elemente der Dinge selbst; sie sahen in der Zahl sowohl den Stoff als die Eigenschaften der Dinge. Das Rationelle an dieser Einsicht beschränkt sich auf die Erheblichkeit der quantitativen Beziehungen in der Konstitution der Dinge und in der Beschaffenheit der Phänomene, die ja in der That eine Grundlage des Verständnisses alles Daseins ist.
Alles weitere ist nur aus der im Anfange der menschlichen Denkarbeit, wie es scheint, ganz unvermeidlich gewesenen und auch für uns Modernen immer noch eine bedenkliche Klippe des Verstandes bildenden Hypostasierung oder Verdinglichung abstrakter Begriffe zu erklären. In der Ausführung dieser Zahlenphilosophie treffen wir nur auf zahlenmystische Spielereien und Deuteleien. So ist die sog. Tetraktys, die Zahlengruppe 1, 2, 3, 4, deren Summe 10 giebt, Gegenstand besonderer Heilighaltung gewesen, da sie die Grundzahl der Menschenseele bilde. Diese spielerische Symbolik wurde besonders auf die moralischen Erscheinungen übertragen; so sollen sie die Gerechtigkeit bald auf die Zahl 3, bald auf die 4, bald auf die 5, bald auf die 9 zurückgeführt haben. Weil alle Zahlen sich in ungerade und gerade teilen, so fand man darin einen weiteren grundlegenden Wesensunterschied, indem man das Ungerade dem Begrenzten, das Gerade dem Unbegrenzten gleichsetzte. Das Begrenzte ist das Bessere und Vollkommene, das Unbegrenzte und Gerade das Unvollkommene.
In 10 Gegengrundsätzen stellten sie die erste, höchst willkürliche Tafel sogenannter Kategorien auf:
1. Grenze und Unbegrenztes. 2. Ungerades und Gerades. 3. Eins und Vielheit. 4. Rechtes und Linkes. 5. Männliches und Weibliches. 6. Ruhendes und Bewegtes. 7. Gerades und Krummes. 8. Licht und Finsternis. 9. Gutes und Böses. 10. Quadrat und Rechteck.
Über die Theologie der alten Pythagoräer läßt sich nichts Sicheres feststellen. „So unleugbar die Pythagoräer an Götter geglaubt haben, und so wahrscheinlich es ist, daß auch sie der monotheistischen Richtung, welche seit Xenophanes in der griechischen Philosophie so bedeutenden Einfluß gewann, soweit gefolgt sind, um aus der Vielheit der Götter die Einheit (ὁ ϑεός, τὸ ϑεῖον) stärker, als die gewöhnliche Volksreligion, herauszuheben, so gering scheint doch die Bedeutung der Gottesidee für ihr philosophisches System gewesen zu sein, und in die Untersuchung über die letzten Gründe scheinen sie dieselbe nicht tiefer verflochten zu haben.“[555]
Auch die kosmologischen Einsichten des Pythagoras bezw. der ältesten Pythagoräer werden vielfach mit Rücksicht auf spätere Unterschiebungen und infolge allzu günstiger Deutung der wenigen unklaren Überlieferungen stark überschätzt.
Das Weltgebäude selbst dachten sich die Pythagoräer als eine Kugel. Im Mittelpunkt derselben nahmen sie ein Centralfeuer an. Um dieses sollen zehn himmlische Körper sich von West nach Ost bewegen, zunächst die 5 Planeten Merkur, Venus, Mars, Saturn und Jupiter, dann die Sonne, der Mond und die Erde. Als zehnten Himmelskörper, wohl nur, um die heilige Zehnzahl voll zu machen, setzten sie dann eine sog. Gegenerde, antichthon; der äußerste Umkreis aber wird durch eine feurige Region, das Empyreum, gebildet.[556] Das ganze System erhält sein Licht und seine Wärme mittelbar vom Centralfeuer und unmittelbar von der Sonne.
Wenn einzelne Historiker der Astronomie in der sog. Gegenerde die andere Halbkugel der Erde sehen wollen und dem Pythagoras schon die nachweisbar erst von Heraclides Ponticus, Ekphant, Plato und Hicetas behauptete Axendrehung der Erde als bekannt zuschreiben, so ist das, wie gesagt, eine zu günstige Auslegung. Nur die Kugelform der Erde ist den alten Pythagoräern bekannt gewesen. Mit dieser Anschauung vom Bau der Welt verband sich nun die berühmte Lehre von der Harmonie der Sphären.