Allgemein verneinende Urteile gehen durch Kontraposition in partikuläre ihrer Form nach bejahende Urteile über (Grdurt.: „kein Verbrecher ist ein nützliches Mitglied der menschlichen Gesellschaft“; Flgsurt.: „ein Teil der unnützen Glieder der menschlichen Gesellschaft sind die Verbrecher“). — Nur geringe Bedeutung kommt den Folgerungen durch Kontraposition aus hypothetischen Gefügen zu. Hier herrschen analoge Verhältnisse vor wie bei den Folgerungen aus hypothetischen Gefügen durch Konversion. Als Beispiele solcher seien aufgeführt: 1. Grdurt.: „wenn Zahlen durch zwei teilbar sind, dann sind sie gerade Zahlen“; Flgsurt.: „wenn Zahlen ungerade sind, dann sind sie durch zwei nicht teilbar“ (reine Kontraposition); 2. Grdurt.: „wenn das Leben nach dem Tode paradiesisch ist, dann ist der Tod ein Beglücker der Menschheit“; Flgsurt.: „wenn es falsch ist, daß der Tod kein Beglücker der Menschheit ist, dann kann das Leben nach dem Tode paradiesisch sein“ (unreine Kontraposition).

Auf anderem Wege als bei den Folgerungen durch Konversion und Kontraposition kommen die Folgerungen durch Subalternation (Umordnung) zustande. Diese sind denknotwendige Ableitungen aus einem als wahr oder falsch beurteilten allgemeinen oder partikulären Urteil, dessen quantitative Bestimmtheit im Folgerungsurteil verändert, dessen Qualität aber dieselbe bleibt. Wenn es wahr ist, daß alle S ← P sind, dann ist es auch wahr, daß einige S ← P sind; und wenn es wahr ist, daß kein S ← P ist, dann ist es auch wahr, daß einige S ← nicht P sind. Wir nennen diese Ableitung von partikulären Urteilen aus allgemeinen Folgerungen durch Unterordnung, und können — da aus der Falschheit eines allgemeinen Urteils auf die Falschheit des ihm untergeordneten partikulären nicht denknotwendig geschlossen werden kann — sagen: Die Folgerungen aus der Wahrheit eines allgemeinen Urteils auf die Wahrheit des ihm untergeordneten sind gültig, die gleichen Folgerungen aus der Falschheit ungültig (in scholastischer Sprache bezeichnet als „Dictum de omni et nullo“)[13]. — Umgekehrt verhalten sich die Dinge bei den Folgerungen durch Überordnung (d. h. den Ableitungen allgemeiner aus partikulären Urteilen). Wenn es falsch ist, daß einige S ← P sind, dann ist es auch falsch, daß alle S ← P sind; und wenn es falsch ist, daß einige S ← nicht P sind, dann ist es auch falsch, daß alle S ← nicht P sind. Wir können also — da aus der Wahrheit eines partikulären Urteils auf die Wahrheit des entsprechenden übergeordneten nicht denknotwendig geschlossen werden kann — sagen: Die Folgerungen aus der Falschheit eines partikulären Urteils auf die Falschheit des ihm übergeordneten sind gültig, die gleichen Folgerungen aus der Wahrheit ungültig. Beide Gesetze kurz zusammengefaßt: Gültige Ableitungen durch Subalternation sind die Folgerungen durch Unterordnung aus der Wahrheit, durch Überordnung aus der Falschheit.

Den Folgerungen durch Subalternation verwandt sind die Folgerungen durch Opposition (Entgegensetzung). Darunter versteht man solche unmittelbaren Schlüsse, durch die aus der Wahrheit (oder Falschheit) eines quantitativ bestimmten Urteils auf die Falschheit (oder Wahrheit) des entsprechenden Urteils von entgegengesetzter Qualität gefolgert wird. Vorerst ist hierbei folgendes zu bemerken: Die Urteile: „alle S ← P“ und „einige S ← nicht P“, sowie: „kein S ← P“ und „einige S ← P“ heißen nach alter logischer Tradition kontradiktorisch-entgegengesetzte; die Urteile: „alle S ← P“ und „alle S ← nicht P“ konträr-entgegengesetzte und die Urteile: „einige S ← P“ und „einige S ← nicht P“ subkonträr-entgegengesetzte. Unter Zugrundelegung dieser Bezeichnungen ergibt sich: Wenn eines der Urteile „alle S ← P“ und „kein S ← P“ als wahr (oder falsch) gegeben ist, dann ist das ihnen kontradiktorisch-entgegengesetzte Urteil „einige S ← nicht P“ bzw. „einige S ← P“ falsch (oder wahr). Diese Tatsachen folgen unmittelbar aus den logischen Grundsätzen des Widerspruches und vom ausgeschlossenen Dritten. Danach können wir sagen: Die Folgerungen durch kontradiktorische Opposition sind durchweg gültig. Nicht ebenso liegen die Dinge bei den Folgerungen durch konträre und subkonträre Opposition. Wenn das Urteil „alle S ← P“ wahr ist, dann ist das Urteil „alle S ← nicht P“ falsch; wenn das Urteil „alle S ← P“ aber falsch ist, dann braucht es darum noch nicht wahr zu sein, daß „alle S ← nicht P“ sind. Mithin können wir sagen: Die Folgerungen durch konträre Opposition sind nur gültig aus der Wahrheit. Und weiter: Wenn es falsch ist, daß „einige S ← P“ sind, dann ist es wahr, daß „einige S ← nicht P“ sind; wenn es aber wahr ist, daß „einige S ← P“ sind, dann braucht es deswegen noch nicht falsch zu sein, daß „einige S ← nicht P“ sind. Die Folgerungen durch subkonträre Opposition sind also nur gültig aus der Falschheit. Alle drei Regeln kurz zusammengefaßt, gewinnen wir die logische Formel: Gültige Ableitungen sind die Folgerungen durch kontradiktorische Opposition aus der Wahrheit und Falschheit, durch konträre Opposition aus der Wahrheit und subkonträre Opposition aus der Falschheit.

Nur kurzer Besprechung bedürfen noch die unmittelbaren Schlüsse durch Modalitätswechsel und durch gleichsinnige Inhaltsänderung. Wenn es notwendig ist, daß S ← P ist, dann ist es auch Tatsache, daß S ← P ist; und wenn es nicht möglich ist, daß S ← P ist, dann ist es auch tatsächlich nicht der Fall usw. Mit Worten: Aus der Gültigkeit des apodiktischen Urteils folgt durch Modalitätswechsel die Gültigkeit des entsprechenden assertorischen und problematischen; aus der Ungültigkeit des problematischen Urteils folgt die Ungültigkeit des entsprechenden assertorischen und apodiktischen. — Und endlich: Folgerungen durch gleichsinnige Inhaltsänderung kommen zustande, wenn die materialen Glieder eines Urteils in gleichem Sinne inhaltlich verändert werden. Um das an Beispielen zu erläutern: Grdurt.: Alles Denken ist Urteilen oder Fragen; Flgsurt.: alles wissenschaftliche Denken ist wissenschaftliches Urteilen oder Fragen; Grdurt.: die Geschichte eines Volkes ist ein Spiegel seiner Entwicklung; Flgsurt.: die Kulturgeschichte eines Volkes ist ein Spiegel seiner kulturellen Entwicklung.

2. Die Arten der mittelbaren Schlüsse und die kategorischen Deduktionen.

Mittelbare Schlüsse (oder Schlüsse im eigentlichen Sinne) sind solche, in denen aus einer Mehrheit gegebener Urteile ein davon verschiedenes denknotwendig abgeleitet wird. Die Urteile, aus denen abgeleitet wird, nennen wir Grundurteile oder Prämissen (die traditionelle Logik nennt sie grammatisierend „Vordersätze“), das Urteil, das abgeleitet wird, Schlußurteil oder Konklusio (Schlußsatz). Wo mittelbare Schlüsse nicht mehr als zwei Prämissen haben, nennt man die eine die obere (Obersatz), die andere die untere (Untersatz). So ist z. B. in dem Schlußverfahren: „Alle Körper ziehen einander an; Erde und Mars sind Körper; also ziehen Erde und Mars einander an“ das allgemeine Urteil: „alle Körper ziehen einander an“ die obere Prämisse (Obersatz), das spezielle Urteil: „Erde und Mars sind Körper“ die untere Prämisse (Untersatz) und das Endurteil: „also ziehen Erde und Mars einander an“ die Konklusio (Schlußsatz). Es ist ohne weiteres ersichtlich, daß nicht beliebig gewählte Urteile Prämissen für einen Schluß bilden können. Ein Schluß ist nur möglich, wenn die Grundurteile eine bestimmte logische Beziehung zueinander haben, oder genauer gesagt: einen denknotwendigen Zusammenhang untereinander herleiten. So wird z. B. in dem angeführten Beispiel ein denknotwendiger Zusammenhang hergestellt durch den in beiden Grundurteilen als gemeinsames materiales Glied enthaltenen Begriff „Körper“, indem zunächst ein allgemeines Gesetz über die Anziehung von Körpern aufgestellt, dann Erde und Mars als der Gattung Körper zugehörig bezeichnet und daraus geschlossen wird, daß Erde und Mars als Körper aufeinander nach dem Gesetz der Anziehung aller Körper einwirken. Auch hier wiederum liegen die Dinge so, daß die Gültigkeit des Schlußurteils — die formal-gültige Ableitung vorausgesetzt — mit der Gültigkeit der Prämissen steht und fällt.

Jenachdem ein Schluß von einem allgemeinen Urteil als Obersatz zu einem besonderen Urteil als Schlußsatz oder aber von besonderen Urteilen als Prämissen zu einem allgemeinen als Konklusio übergeht, nennt man ihn einen Schluß entweder vom Allgemeinen aufs Besondere oder vom Besonderen aufs Allgemeine. Zu diesen zählt die überlieferte Logik noch eine dritte Art von Schlüssen: die vom Besonderen aufs Besondere. Nach herkömmlicher Weise bezeichnet man die Schlüsse vom Allgemeinen aufs Besondere als deduktive oder Deduktionen, die Schlüsse vom Besonderen aufs Allgemeine als induktive oder Induktionen und die Schlüsse vom Besonderen aufs Besondere als Schlüsse per analogiam oder Analogieschlüsse.

Besprechen wir zunächst die deduktiven Schlüsse. Die überlieferte Lehre von den Schlußformen teilt die Deduktionen in die drei Hauptarten der kategorischen, hypothetischen und disjunktiven Schlüsse. Beispiele dafür sind: 1. Kategorischer Schluß: „Alle Römer waren kriegerisch; Cäsar war ein Römer; also war Cäsar kriegerisch“; 2. hypothetischer Schluß: „Wenn Cäsar ein Römer war, war er kriegerisch; Cäsar war ein Römer; also war Cäsar kriegerisch“; 3. disjunktiver Schluß: „Soldaten sind entweder tapfer oder keine Soldaten; Cäsar war tapfer; also war Cäsar ein Soldat.“ Diese Einteilung besteht jedoch nicht zu Recht. Es wird sich zeigen, daß die disjunktiven Schlüsse den kategorischen und hypothetischen nicht schlechthin koordiniert werden dürfen, da sie nicht wie diese einfach, sondern eigentümliche Zusammensetzungen von kategorischen und hypothetischen Schlüssen bilden. Demnach sind die deduktiven Schlüsse einzuteilen in einfache Deduktionen und Zusammensetzungen von solchen. Einfache Deduktionen sind teils die von der elementaren Form der eben erwähnten kategorischen Schlüsse (wir nennen sie kategorische oder elementare Deduktionen oder mit Aristoteles Syllogismen), teils die angeführten hypothetischen Schlüsse; Zusammensetzungen von deduktiven Schlüssen, sog. Ketten, sind teils reinliche, d. h. solche, die nur aus kategorischen Deduktionen gebildet sind, teils gemischte, d. h. solche, deren Analyse sowohl kategorische wie hypothetische Schlüsse als Bestandteile aufweist. Ordnen wir die Arten der deduktiven Schlüsse in einem übersichtlichen Schema, dann ergibt sich:

Erörtern wir fürs erste die Arten der kategorischen Deduktion. Als solche unterscheidet man nach Aristotelischem Vorbilde drei gültige Formen, die man von alters her als syllogistische Figuren (figurae Aristotelicae) bezeichnet[14]. Diese sind nach ihrer allgemeinsten Form: