Grundriß der Logik - Kurt Joachim Grau

1. Begriff und Arten des Beweises.

Ein wissenschaftliches System ist ein Inbegriff von zureichend begründeten Behauptungen und Problemfragen über einen Teil des Wirklichen, die untereinander in engem logischen Zusammenhange stehen.

Wo wir im Fortgange der wissenschaftlichen Untersuchung auf Erkenntnisse stoßen, deren Gültigkeit als zweifelhaft erscheint, da pflegen wir diese zunächst in Form von Fragen zu formulieren, die damit — als wissenschaftlich-gerichtete — zu Problemen werden.

Auch Problemfragen bedürfen wie Urteile einer zureichenden Begründung. Eine Frage ist logisch zureichend begründet, wenn sie richtig gestellt ist, d. h. wenn ihre Voraussetzungen dem jeweiligen Stande der Forschung entsprechen und sie sich folgerichtig aus der bisherigen Entwicklung der Wissenschaft ergibt. Eine Fragestellung ist demnach als falsch zu bezeichnen, wenn sie sich auf Voraussetzungen gründet, die durch die Geschichte der Forschung widerlegt und damit überwunden sind. Es hat keinen Sinn mehr, gegenwärtig etwa im Sinne der scholastischen Philosophie zu fragen, ob die Universalia ante oder post res seien[21]; keinen Sinn mehr, zu fragen, ob die Welt geschaffen oder von Ewigkeit vorhanden, der Geist ein einfaches oder zusammengesetztes Wesen, ob die Gottesvorstellung der Seele angeboren oder von ihr erworben sei. Diese Fragen sind für unsere Zeit anachronistisch, d. h. in ihren Grundlagen einer überholten Zeitperiode angehörend. Wer sie heute noch ernstlich erörtern wollte, indem er sich über alles hinwegsetzte, was die Jahrhunderte zu ihrer Kritik beigebracht haben, der unternähme von vornherein ein fruchtloses und darum überflüssiges Tun. Daraus erhellt der Wert historischer Studien auf wissenschaftlichem Gebiete und mit dem Werte zugleich deren Notwendigkeit.

Es ist eine oft betonte Forderung, daß man in allen wissenschaftlichen Bestrebungen nicht nur wissen müsse, was man zu urteilen, sondern auch, was man zu fragen habe. Von der Aufstellung begründeter Problemfragen hängt in der Tat der Fortschritt der Forschung ab. Wie jedes neue Problem neue Erkenntnisse, so gebärt jede neue Erkenntnis neue Probleme. Die Geschichte hat gelehrt, daß mit der Fülle des Wissens auch der Abgrund des Nichtwissens ins immer Unermeßlichere wächst. Indem wir dem uns innewohnenden, unwiderstehlich vorwärtsstrebenden Kausalbedürfnis willig oder nichtwillig folgen, kommen wir überall bis zu letzten Fragen der Wissenschaft, denen gegenüber der Forscher entweder resigniert sein „ignoro, ignorabo“ spricht[22], oder deren Lösung mehr dem Glauben als dem Wissen anheimfällt. Hierhin gehören Fragen wie die nach dem ersten Ursprung des organischen Lebens, nach der Entstehung des Bewußtseins innerhalb der Entwicklung organischer Wesen, nach der Erklärung des Todes oder des Überganges vom Organischen zum Anorganischen, ja auch schließlich die Fragen nach dem Verhältnis des Geistigen zur körperlichen oder räumlich-ausgedehnten Welt, nach der Natur der Gedächtnisgrundlagen, der Natur des Vererbungsvorganges u. a. m.

Wissenschaftliche Urteile bedürfen allemal dann eines Beweises, wenn ihre Gültigkeit nicht unmittelbar gewiß ist. Über die Frage freilich, ob und wann das der Fall ist, herrscht im einzelnen — wie auch unter den Logikern im Prinzipiellen — Streit. Insbesondere in der Auffassung der Grundlagen der Mathematik ist es neuerdings zu heftigen Kontroversen gekommen, und zwar dadurch, daß die einen — so z. B. John Stuart Mill, in Deutschland Herm. v. Helmholtz — lehren, die Axiome der Geometrie und Arithmetik seien Erfahrungswahrheiten (und zwar als solche durch verallgemeinernde Induktion gewonnen), die anderen, die Axiome der Geometrie und Arithmetik seien zwar an der Hand sinnlicher Wahrnehmungen entwickelt, in ihrer Gültigkeit aber — davon völlig unabhängig — unmittelbar-, darum notwendig- und allgemein-gewiß. Ohne auf das verwickelte Problem der logischen Bedeutung der mathematischen Axiome näher einzugehen, sei doch dazu bemerkt, daß die Millsche Theorie als unhaltbar gelten muß, weil sie die Frage nach dem psychologischen Ursprung mit der nach dem Wesen der mathematischen Axiome verwechselt. Die Frage nach der Entstehung eines Urteils ist eine quaestio facti (Tatsachenfrage); die Frage nach der Art seiner Gültigkeit eine quaestio juris (Rechtsfrage). Wohl sind Axiome wie: „Zwischen zwei Punkten ist die Gerade der kürzeste Weg“ psychologisch-genetisch genommen an der Hand sinnlicher Anschauungen entwickelt; sie sind darum logisch aber nicht Erfahrungserkenntnisse, sondern in ihrer Gültigkeit völlig unabhängig von dieser notwendig- und allgemein-gewiß — entsprechend der vortrefflichen Einsicht Kants, daß zwar alle Erkenntnis mit Eindrücken der Sinne anfange (exordium), nicht aber auch alle aus den Sinnen entstamme (origo). Die mathematischen Axiome sind mithin als Verstandeswahrheiten im Sinne Leibniz’, als synthetische Urteile a priori im Sinne Kants, in ihrer Gültigkeit unmittelbar-gewisse und darum unbeweisbare Wahrheiten, eines Beweises weder fähig noch bedürftig.

Ein wissenschaftlicher Beweis ist logisch dasjenige Verfahren, wodurch ein wissenschaftliches Urteil in seiner Gültigkeit zureichend begründet wird. Die zureichende Begründung erfolgt entweder durch den Hinweis auf die Tatsachen der Wahrnehmung (hinweisende Begründung) oder durch Ableitung des zu beweisenden Urteils als Konklusio aus seinen Gründen als Prämissen (ableitende Begründung). So z. B. geschieht die zureichende Begründung mathematischer Definitionen wie etwa der Begriffe Dreieck, Kreis, Parallelogramm, Pyramide usw. durch den Hinweis auf die Daten der Wahrnehmung bzw. auf die dieser immanenten psycho-physiologischen Gesetze der Raumanschauung; die zureichende Begründung mathematischer Lehrsätze sowie der meisten Tatsachenurteile durch Ableitung (Reduktion) aus anderen unmittelbar-gewissen oder bereits zureichend-begründeten Urteilen, sei es unmittelbar oder mittelbar, auf deduktivem, induktivem oder dem Wege der Ähnlichkeitsschlüsse. Urteile wie: „Die Farbe dieser Blätter ist gelb; die Oberfläche dieser Frucht ist rauh“ sind durch Hinweis zureichend begründet, wenn einem jeden die Möglichkeit, sich von ihrer Wahrheit zu überzeugen, unmittelbar gegeben ist; sie bedürfen aber einer induktiv-ableitenden Begründung, wenn die Möglichkeit einer Nachprüfung durch Wahrnehmung nicht mehr gegeben, der Beweis vielmehr auf die zeitlich weiter zurückliegenden, übereinstimmend-überlieferten Wahrnehmungen anderer Individuen gestützt ist (S1 gibt an, daß Q ← R, S2 gibt an, daß Q ×;R, S3 gibt an, daß Q ← R usw.; also wird Q ← R wahr sein; ein sogenannter „Indizienbeweis“). Der Indizienbeweis spielt — abgesehen von seiner praktischen Anwendung in der Rechtswissenschaft — besonders im historischen Denken eine wesentliche Rolle, wo auf Grund der übereinstimmenden Angaben mehrerer Quellen — unter Abstraktion von den davon abweichenden — von zwei oder mehreren möglichen Begebenheiten die eine als den Tatsachen entsprechend mit mehr oder minder großer Wahrscheinlichkeit angenommen wird.

Als Arten des auf Ableitung beruhenden wissenschaftlichen Beweisverfahrens unterscheidet die traditionelle Logik den direkten und indirekten, den progressiven und regressiven Beweis. Direkt erfolgt die Ableitung, wenn die Wahrheit des zu Beweisenden (demonstrandum; Thesis) sich in ununterbrochener logischer Folge aus der Wahrheit seiner Gründe (rationes demonstrandi) ergibt (Behauptung: wahr S ← P; Bew.: wahr S ← M, wahr M ← P, also wahr S ← P); indirekt (oder apagogisch) erfolgt die Ableitung, wenn die Wahrheit des zu Beweisenden sich aus der zureichend begründeten Falschheit seines kontradiktorischen Gegenteils ergibt (deductio ad absurdum; Beh.: wahr S ← P; Bew.: Angenommen S ← P nicht wahr, dann wäre Q ← R wahr; nun ist Q ← R, wie sich beweisen läßt, falsch; also ist es auch falsch, daß S ← P nicht wahr sei; mithin S ← P wahr). — Progressiv heißt eine Ableitung, die, wie im direkten Beweis, von der Wahrheit der Gründe auf die Wahrheit der Folge, regressiv diejenige, die — wie im indirekten Beweis sowie einer viel gebrauchten Form wissenschaftlicher Widerlegung — von der Falschheit der Folge auf die Falschheit der Gründe geht (z. B. Widerlegung in regressiver Form: Beh.: S ← P falsch; Bew.: wenn S ← P wahr, dann Q ← R wahr; nun läßt sich beweisen, daß Q ← R nicht wahr, also ist es falsch, daß S ← P wahr; mithin: S ← P falsch). Die Widerlegung ist demnach die zureichende Begründung der Falschheit eines Urteils, wie der Beweis die zureichende Begründung der Wahrheit; sie erfolgt progressiv durch die zureichende Begründung der Wahrheit des dem zu widerlegenden kontradiktorisch-entgegengesetzten Urteils.

2. Die Auffindung der Beweisgründe.

Ein anderes ist es, wissenschaftliche Wahrheiten finden, ein anderes, sie beweisen. Maxwell stellte die elektromagnetische Lichttheorie auf; Hertz bewies sie, und zwar auf induktivem Wege durch eigens von ihm erdachte Experimente. Wohl können gelegentlich der Weg, auf dem man zu einer Erkenntnis gelangt, und derjenige, auf dem man sie zureichend begründet, der Sache nach miteinander übereinstimmen; in der Regel aber (und das gilt besonders für die großen, weittragenden Entdeckungen der Tatsachenwissenschaften) ist der Gedanke da, ehe auch nur ein Teil seiner Gründe annähernd übersehen werden kann (ähnlich Riehl, Robert Mayers Entdeckung und Beweis des Energieprinzips, Philos. Abh., Sigwart gew., 1910, S. 162).