In einem vollständigen System der Wissenschaft hängen alle Urteile dergestalt mit- und untereinander zusammen, daß jede neue Einsicht, die sich mit den bereits bestehenden in Übereinstimmung befindet, darin logisch ihre Stütze findet, jede aber, die dem vorhandenen Bestand der Erkenntnis widerspricht, von vornherein den Verdacht der Falschheit erweckt. Die Einheit der Wissenschaft verlangt, daß alle Erkenntnisse — gleich wie — in einem geordneten Zusammenhang stehen, in dem man von dem Allgemeinsten bis zu dem Speziellsten und umgekehrt hinauf und hinab steigen kann, ohne innerhalb der systematischen Ordnung des Ganzen auf Widersprüche zu stoßen. Ergibt der Fortgang der Forschung an irgendeinem Punkte Erkenntnisse, die entweder an sich selbst oder in ihren Folgen mit den früher gewonnenen nicht in Einklang stehen, so schließen wir daraus, daß entweder diese — die neuen — oder jene alten falsch sind, mithin daß der ganze Weg der Untersuchung einer sorgfältigen Nachprüfung bedarf. Solche Generalrevision der Wissenschaft von ihren letzten Fundamenten aus findet sich, wie die Geschichte der Wissenschaften lehrt, in den meisten Disziplinen (auch hier bis zu einem gewissen Grade mit Ausnahme der mathematischen Forschung) von Zeit zu Zeit immer wieder, und das, wie es scheint, nicht zum Nachteil, sondern zum Segen der Gesamtentwicklung des Wissens. Eine solche Generalrevision von ihren fundamentalen Grundlagen aus macht z. B. gegenwärtig die Physik durch, seit neuere Ergebnisse auf dem Gebiete der Elektrizitätslehre die Aufgabe der alten Hypothese des Äthers nahegelegt haben; eine solche Generalrevision hat gegen Ende des 18. Jahrhunderts die Philosophie durchgemacht, als Kant bewies, daß die Prinzipien der reinen Vernunft nur im immanenten Gebrauch für Erfahrungsobjekte, nicht aber im transzendenten unabhängig von der Erfahrung für die Erkenntnis des Seienden an und für sich Gültigkeit hätten, und damit die Metaphysik von einer kritiklosen Verstandeserkenntnis des objektiven Seins zu einer objektiven Kritik des Verstandes und seiner Anwendung auf die empirische Wirklichkeit umgestaltete[23].
Die Auffindung der wissenschaftlichen Beweisgründe, die eine gleichwie gewonnene Lehrmeinung als gültig erweisen sollen, richtet sich nach dem speziellen Charakter jener Erkenntnis, sowie demjenigen ihres wissenschaftlichen Gebietes überhaupt. Bei mathematischen Einsichten gewährt zumeist schon der Weg ihrer Entdeckung wertvolle Anhaltspunkte für die Aufstellung ihrer zureichenden Begründung. Hier hat jede Bemühung um einen Beweis die Prämissen zu suchen, aus denen sich der zu begründende Lehrsatz notwendig als Konklusio ergibt, und zwar dergestalt, daß die zu beweisende Lehrmeinung mit dem bereits bewiesenen und darum als gewiß erkannten bisherigen Bestande der Forschung so zusammenhängt, daß sie sich als notwendige Konsequenz aus jenem und zugleich darin unlösbar verankert erweist (deduktiver Beweis). Deduktion als Forschungsmethode und Deduktion als Beweismittel unterscheiden sich mithin nur insofern, als die erstere von den Prämissen aus die Konklusio, die zweite von der Konklusio aus die Prämissen sucht.
Analoges gilt für die Beweisführung in den Wissenschaften von Tatsachen. Sei es, daß wir ein einzelnes Faktum der Geschichte, eine allgemeine Regel des Naturgeschehens oder den Erklärungsversuch einer empirisch gesicherten Erscheinung des Wirklichen als wahr zu beweisen suchen, immer haben wir diese als die zu beweisenden Lehren in der Form von Schlußurteilen aus gewissen ihnen als Stütze dienenden Einzelerkenntnissen (als Prämissen) durch eine verallgemeinernde oder ergänzende Induktion (oder auch durch einen Schluß aus hinreichender Ähnlichkeit [Analogieschluß]) mit dem höchstmöglichen Grad der Wahrscheinlichkeitsgeltung herzuleiten. Daß Heinrich IV. im Jahre 1077 in der Tat seinen Bittgang nach Canossa getan hat, beweisen wir induktiv aus den im wesentlichen übereinstimmenden Angaben der wichtigsten Quellenschriften jener Zeit. Daß Körper verschiedenen Gewichts im luftleeren Raum mit gleicher Geschwindigkeit fallen, beweisen wir gleichfalls induktiv aus den übereinstimmenden Ergebnissen zahlloser Versuche, die wir angestellt haben und zur Verifikation (Gültigkeitsbestätigung) jenes Gesetzes jederzeit wiederholen können. Daß endlich die atomistische Theorie der Materie zur Erklärung der Bewegungserscheinungen der Körperwelt gültig sei, beweisen wir wiederum induktiv daraus, daß sie mit allen den einzelnen Faktoren, die hierhin gehören, in Einklang steht und für sie alle einen befriedigenden Maßstab zur Erklärung darbietet (Induktionsbeweis).
Das schwächste wissenschaftliche Beweismittel, das wir besitzen, ist da gegeben, wo wir die Gültigkeit eines Urteils lediglich auf die Ähnlichkeit seines Subjekts zu einem seinen Merkmalen nach ausreichend bekannten Objekte der Forschung aufbauen (Analogiebeweis). Beispiele dafür sind bereits bei der Besprechung der Analogieschlüsse gegeben worden. Hier hat die Auffindung der Beweisgründe den Weg zu gehen, daß sie Objekte sucht, die dem Subjekt des zu beweisenden Urteils wesentlich ähnlich und durch dasselbe Prädikat gekennzeichnet sind, das von jenem als gültig behauptet wird (Behptg.: wahr S ← P; Bew.: S ← M ähnlich und M ← P). Daß diese Beweisführung gegenüber den anderen Formen den geringsten Grad der Sicherheit ergibt, lehrt schon die Geschichte der Wissenschaften unzweideutig. Wie hätte sonst seit Rorarius, Descartes und Malebranche bis zur Gegenwart fort ein jahrhundertelanger Streit darüber entbrennen können, ob die Tiere beseelt seien wie wir Menschen oder aber als seelenlose Automaten, gewissermaßen als Reflexmaschinen, aus Gottes Hand ihr Dasein empfangen hätten.
Die Auffindung der Beweisgründe geht also, wenn wir kurz das Gesagte zusammenfassen wollen, dreierlei Wege: sie sucht das Allgemeine, wo sie daraus das Besondere zu begründen vermag (Deduktion); sie sucht das Besondere, wo sie daraus das Allgemeine ableiten kann (Induktion); und sie sucht das einander Ähnliche, wo sie daraus schließen darf, daß dem einen als Prädikat zukommen wird, was in dem anderen mit zureichender Begründung prädikativ enthalten ist (Analogiebeweis).
3. Fehler und Unzulänglichkeiten des Beweises.
Falsche oder unzulängliche Beweise beruhen immer auf falschen oder unzulänglichen Ableitungen. Man nennt sie daher Falschschlüsse (fallaciae); und diese wiederum, sofern sie absichtlich erfolgen: Sophismen (Trugschlüsse); sofern unabsichtlich: Paralogismen (Fehlschlüsse, Vernunftwidrigkeiten). Ein Beweis ist unzulänglich, wenn er nicht die Wahrheit des zu beweisenden Urteils begründet, sondern vielmehr: entweder zu viel oder zu wenig (Beweisverrückung; Heterozetesis) oder auch: ein von dem zu beweisenden völlig verschiedenes Urteil (mutatio elenchi: μετάβασις εἰς ἄλλο γένος). Ein Beweis ist falsch, wenn entweder einer der Beweisgründe falsch (materialer Falschschluß; πρῶτον ψεῦδος), oder aber wenn die Ableitung der Konklusio aus den Prämissen formal ungültig ist (formaler Falschschluß).
Ein unzulänglicher Beweis ist genau genommen gar kein Beweis. Der Versuch, ein Urteil als bewiesen auszugeben, während aus den dafür aufgeführten Beweisgründen in Wahrheit ein ganz anderes folgt, wird logisch eine Erschleichung (subreptio) oder Abirrung des Beweises (aberratio elenchi) genannt. Eine alte Schulregel der Logiker besagt: „Qui nimium probat, nihil probat; qui parum probat, nihil probat“ (wer zu viel oder zu wenig beweist, beweist gar nichts). „Zu viel beweisen“ heißt dabei: etwas als einer Gattung zugehörig nachweisen, was nur für eine Art oder für ein Individuum gültig bewiesen werden soll (denn das Individuum könnte immerhin eine Ausnahme von jener Gattungsregel bilden); „zu wenig beweisen“ heißt: etwas als einer Art zugehörig nachweisen, was für deren Gattung gültig zu beweisen wäre (denn jenes Merkmal könnte ja eine der artbildenden spezifischen Differenzen sein, die der Gattung nicht zukommen).
Daß, wenn eine der Prämissen falsch (bzw. ungewiß), bei formal gültiger Ableitung auch die Konklusio falsch (bzw. ungewiß) ist, bedarf keiner näheren Erläuterung. Ebensowenig daß bei wahren Prämissen kein gültiger Beweis zustande kommt, wo ein formaler Fehler im Schlußverfahren vorliegt. Der geläufigste formale Falschschluß beruht auf dem sog. circulus vitiosus (Zirkelbeweis; petitio principii), der da gegeben ist, wo das zu beweisende Urteil (an sich selbst oder in einer seiner Folgen) irgendwie mit in die Beweisgründe aufgenommen ist, die insgesamt gerade dazu dienen sollen, ebendieses zu erhärten. Ein lehrreiches Beispiel dafür bietet sich in den grundlegenden Deduktionen der Cartesianischen Philosophie: An der Hand seiner Generalregel, daß alles klar und deutlich Erkannte wahr sei, beweist Descartes, daß Gott existiere; und auf die Frage, warum denn alles klar und deutlich Erkannte wahr sein müsse, antwortet er wiederum (man beachte den Zirkel!), weil Gott kein Betrüger sein könne! —
Der häufigste formale Fehler des syllogistischen Schlußverfahrens kommt zustande durch die sog. quaternio terminorum (Vierzahl der Begriffe), die dann gegeben ist, wenn der Mittelbegriff in der oberen Prämisse in anderer Bedeutung genommen wird wie in der unteren (fallacia medii termini). An die Stelle der Identität des Begriffes, die ja von der sprachlichen Formulierung des Gedankens einigermaßen unabhängig ist, tritt hier also die Identität des Wortes, verbunden mit einer Mehrdeutigkeit seines Bedeutungsinhaltes (Äquivokation). Beispiele für diese Beweisverirrung, die gelegentlich die sinnloseste Form annehmen kann (mittels deren in der Tat alles zu „beweisen“ möglich ist), finden sich insbesondere in den Trug- und Fangschlüssen der griechischen Eristik und Sophistik in reicher Anzahl. Ein Musterbild dieser (nach Prantl von den Megarikern geprägt) bildet: