Fig. 19.
§ 18. Drehen einer Ebene um eine Streichlinie in die wagerechte Lage. Es kommt oft vor, daß man in einer durch ihren Gefällemaßstab gegebenen Ebene Messungen von Winkeln oder Längen, oder Konstruktionen maßstäblicher Natur auszuführen hat; das ist nicht ohne weiteres möglich, wenn die Ebene nicht zur Zeichenebene parallel, also nicht wagerecht ist. Man hat sie vielmehr erst in die wagerechte Lage zu bringen, zweckmäßig durch Drehung um eine Streichlinie. Es sei ([Fig. 19]) AB (Höhe 0) diese Streichlinie einer Ebene, deren Gefällemaßstab rechts in der Figur zu sehen ist. Durch Drehung geht die Schar der Streichlinien in eine andere dazu parallele Schar über, die mit der ursprünglichen die Streichlinie AB gemeinsam hat. In wagerechter Lage der Ebene ist der Abstand zweier Streichlinien mit dem ursprünglichen Höhenunterschied 1 die Hypotenuse in dem Dreieck, dessen Katheten das ursprüngliche Intervall i und die Einheit des Höhenmaßstabes sind (in der Figur links angegeben). Bei der Drehung beschreibt jeder Punkt C einen Kreis, dessen Ebene zu AB senkrecht ist und daher die Rißebene in dem Lot CH auf AB schneidet. Um also den Punkt C* zu finden, in den C nach der Drehung übergeht, hat man nur die mit C gleichkotierte Schichtlinie (in der Figur die mit der Höhenzahl 7) nach der Drehung mit diesem Lot zum Schnitt zu bringen.
Auf diese Weise läßt sich die wahre Gestalt einer Figur CDEF der gegebenen Ebene als C*D*E*F* konstruieren; also auch z. B. die wahre Größe des Schnittwinkels zweier Geraden AC und BC als Winkel AC*B. Eine nützliche Kontrolle besteht in der Konstruktion der wahren Längen von AC und BC als AC* und BC* nach [§ 1], wie in der Figur angegeben.
Durch Umkehrung der Konstruktion kann man eine gegebene Figur in eine durch ihren Gefällemaßstab gegebene Ebene einzeichnen.
§ 19. Schnittwinkel zweier Ebenen. Wenn man von irgendeinem Punkte, der auf keiner der beiden Ebenen gelegen ist, auf diese die beiden Lote fällt, so schließen sie miteinander dieselben Winkel ein wie die beiden Ebenen. In [§ 16] ist das Fällen eines Lotes auf eine Ebene gezeigt worden. Durch diese beiden Lote ist eine Ebene bestimmt. Dreht man nun diese Ebene der beiden Lote um eine ihrer Schichtlinien, d. h. um eine Verbindungsgerade gleichkotierter Punkte der Lote, in die wagerechte Lage (nach [§ 18]), so erhält man die gesuchten Schnittwinkel in wahrer Größe. Der Leser führe danach die Konstruktion aus.
Eine etwas andere Lösung der Aufgabe ist folgende. Man zeichnet zuerst nach [§ 12] die Schnittgerade beider Ebenen als geometrischen Ort der Schnittpunkte gleichhoher Streichlinien, sodann irgendeine, diese Schnittgerade senkrecht schneidende Hilfsebene; ihr Böschungsmaßstab läuft parallel zur Projektion der Schnittgeraden. Diese Hilfsebene schneidet die beiden gegebenen Ebenen in zwei Geraden, die die gesuchten Winkel miteinander einschließen. Dreht man also die Hilfsebene um eine ihrer Schichtlinien in die wagerechte Lage, so erhält man dadurch auch die Schnittwinkel der beiden gegebenen Ebenen in wahrer Größe.
Fig. 20.