Fig. 93.
Die graphische Darstellung dieser Werte in beliebigen Maßstäben ergibt die Kurve der [Fig. 93]. Sie besteht aus zwei Ästen, einem für das Hangende (rechter Ast) und einem für das Liegende (linker Ast), die sich in einem Punkte schneiden. Zur Bestimmung des Rauminhalts hat man die durch sie und die Abszissenachse begrenzte Fläche zu ermitteln. Die Planimetrierung lieferte in willkürlichen Einheiten q des Planimeternonius, deren Wert übrigens von p verschieden sein kann, das Volumen 549 · q, während zugleich eine Fläche, die 1000 · p · 100 m Kubikeinheiten entsprach – in der Figur durch das Rechteck angezeigt –, 1097 · q ergab. Daraus folgt für das gesuchte Volumen der Wert
549 · q · 100000 · p · m/1097 · q · 40000 m²/1598 · p = 1 253 100 m³.
Es wäre sicher nicht richtig, das Schlußergebnis auf so viele Stellen anzugeben, und man wird sich etwa mit der runden Zahl 1 250 000 m³ begnügen müssen, zumal eine Abschätzung der Genauigkeit auf Grund der gegebenen Daten nicht einfach ist.
§ 99. Zeichnerische Analysis. Die in den vorstehenden Paragraphen auseinandergesetzten und angewandten Verfahren der Projektionen mit Höhenzahlen lassen sich nicht nur auf geometrische Aufgaben, sondern auch auf die praktisch zeichnerische Behandlung analytischer Fragen mit Nutzen anwenden. Man kann diesen Teil der angewandten Mathematik, dessen Entstehung erst wenige Jahrzehnte zurückliegt, und dessen Ausbau noch keineswegs abgeschlossen ist, passend als graphische oder zeichnerische Analysis bezeichnen. Ihre Ergebnisse finden in fast allen Zweigen der Technik, in der Vermessungskunde, der technischen Physik, der Ballistik usw. mehr und mehr Anwendung. Im Folgenden mögen einige einfachere Gegenstände dieses Gebietes besprochen werden, die mit den vorhergehenden Betrachtungen zum Teil aufs engste zusammenhängen.
§ 100. Funktionsskale. Es bedeute x eine reelle Veränderliche und y = f(x) eine beliebige eindeutig umkehrbare – d. h. zu jedem Wert von y gehört ein Wert von x – reelle Funktion von x, gegeben durch irgendeine Rechenvorschrift oder durch eine Zahlentafel, derart, daß ihr zeichnerisch im rechtwinkligen Cartesischen Koordinatensystem (x, y) eine Kurve zugeordnet werden kann. Einen Punkt P der Kurve ([Fig. 94] mit y = √x mit der Abszisse x (= 3) projiziere man parallel zur Abszissenachse auf die Ordinatenachse nach Q, so daß OQ = y (= √3 = 1,73) ist, schreibe aber an Q den zu P gehörigen Abszissenwert x (= 3). Wenn man so für genügend viele Punkte verfährt, erhält man die Skale der Funktion y = f(x). Die [Fig. 94] stellt die Entstehung der Funktionsskale y = √x dar.[3]
[3] Weitere Beispiele sind in dem Bändchen von Paul Luckey, Einführung in die Nomographie, dieser mathematisch-physikalischen Bibliothek zu finden.
Fig. 94.