Nació en 2 de enero del año 1851. Cursó la instrucción secundaria en el Colegio de los Jesuitas, en San Juan, y la carrera de derecho en la Universidad Central de Madrid. Fué discípulo de Castelar en su famosa cátedra de Historia, y gran admirador de este insigne tribuno.
Vivía Elzaburu en casa de su tio don Julio Vizcarrondo, en Madrid, y en ella formaban tertulia entonces muchos oradores, políticos y literatos de la corte, con motivo de la agitación abolicionista y política de aquella época. Con el ejemplo y la dirección de ellos, y con el ambiente literario de las aulas universitarias, se despertaron las aficiones literarias del joven portorriqueño, que empezó á escribir unos artículos cortos en prosa elegante, casi lírica, especie de breves poemas en prosa, por el estilo de los que solían publicar en aquel tiempo Baudelaire y el ruso Ivan Tourgeneff. Los publicaba en revistas y periódicos de aquel tiempo, suscritos con el seudónimo de Fabian Montes. Los primeros que se publicaron en Puerto Rico llamaron la atención por la novedad de la forma y la extraña condensación del pensamiento, casi siempre transcendental.
La vuelta de Elzaburu á su país produjo un movimiento literario favorable. Convirtió su bufete de abogado, en ciertas horas de la tarde y de la noche, en una especie de cenáculo de poetas y de escritores, al que daban el nombre de Parnasillo. De allí salió el proyecto de la fundación del Ateneo Portorriqueño, en el que fué Manuel Elzaburu el factor principal, actuando como Secretario en los primeros años, y después como Presidente. Á él se debe la galería de retratos de portorriqueños ilustres en el Ateneo. Fundó también la Institución de Estudios Superiores, anexa á dicho establecimiento, y agregada á la Universidad de la Habana, para el estudio de la Medicina, la Abogacía y las facultades de Letras y Ciencias, y fué en la Diputación Provincial uno de los campeones más decididos del Instituto Civil de segunda enseñanza.
Era un activo cooperador de toda obra de cultura y de progreso que se iniciara en el país.
Poseía con bastante propiedad el idioma francés; estudiaba con entusiasmo las obras literarias y científicas de su tiempo, y había adquirido una cultura sólida y extensa.
Tradujo en verso muy acertadamente varias composiciones poéticas de Teófilo Gautier, demostrando que no le eran desconocidos los encantos de la rima; pero no escribió nunca versos originales.
Era un orador fácil é instructivo.
El artículo El Mar, que se inserta á continuación es de los primeros que escribió, hallándose de veraneo en la costa de Guipúzcoa, y el fragmento oratorio es de uno de sus últimos discursos en el Ateneo.
Falleció repentinamente en San Juan, el día 12 de febrero de 1892, cuando acababa de realizar un viaje de estudio y de recreo por la capital de Francia.
El Ateneo dedicó una gran solemnidad literaria y una lápida de mármol en honor de este su meritísimo fundador, é hizo colocar su retrato en la galería pictórica de portorriqueños ilustres.