309.. Prédiction des éclipses de lune. Les anciens, qui étaient loin de connaître les lois du mouvement du la lune aussi bien qu'on les connaît aujourd'hui, étaient cependant parvenus à prédire les éclipses avec une assez grande exactitude; c'est qu'ils avaient remarqué qu'après une certaine période fixe les éclipses de lune se reproduisent dans le même ordre et sensiblement dans les mêmes circonstances. Cette période, connue des Chaldéens sous le nom de saros, se compose de 223 lunaisons formant environ 18 ans 11 jours; elle comprend en général 70 éclipses, dont 41 éclipses de soleil et 29 de lune. Cela admis, il suffit de tenir compte par ordre et par date, d'une manière précise et à partir d'un certain jour, des éclipses de lune qui se produisent dans l'espace de 18 ans 11 jours, pour connaître, à très-peu près:, l'époque et même les circonstances de chacune des éclipses qui se produiront dans la période suivante de 18 ans 11 jours; de même pour une troisième période, et ainsi de suite. C'est ainsi que faisaient les anciens. Maintenant qu'on sait comment et pourquoi les mêmes ellipses se reproduisent ainsi périodiquement, on sait aussi que cette ancienne méthode de prédire les éclipses n'est pas tout à fait exacte, et ne permet de prédire ces phénomènes qu'avec une certaine approximation. Nous l'indiquons néanmoins parce qu'elle est encore de quelque utilité, et qu'elle est d'ailleurs intéressante par le rôle qu'elle a joué bien longtemps.
309 bis. Voici comment on explique la reproduction périodique des éclipses. On démontre aisément, et nous l'expliquons même un peu plus loin (nº 311), que la reproduction d'une éclipse dépend de la position relative, au moment de l'opposition, du soleil et des nœuds de la lune; cela admis, on comprendra aisément, après les explications suivantes, la reproduction périodique des éclipses telle que nous venons de l'indiquer.
On appelle révolution synodique des noeuds de la lune le temps qui s'écoule entre deux rencontres consécutives du soleil et de l'un de ces points. Si les noeuds de la lune étaient fixes sur l'écliptique, la durée de cette révolution serait précisément l'année sidérale (nº 218). Mais à cause du mouvement rétrograde des nœuds (nº 265), en vertu duquel ces points vont constamment à la rencontre du soleil, leur révolution synodique est plus courte et ne dure que 346j,619; 19 de ces révolutions synodiques font 6585j,76, ou 18 ans 11 jours environ; d'un autre côté, 223 lunaisons font 6585j,32. Donc 19 révolutions synodiques de la lune font à peu près 223 lunaisons; c'est lu période chaldéenne. Supposons un instant que l'on ait exactement 18 ans 11 jours = 19 révolutions synodiques des nœuds de la lune = 223 lunaisons; puis, qu'à une certaine époque il y ait éclipse de lune. En ce moment la lune est à l'opposition, et le soleil et les nœuds de la lune occupent certaines positions relatives; après 18 ans et 11 jours, comme il se sera écoulé 223 lunaisons, la lune se trouvera encore à l'opposition; comme il se sera écoulé 19 révolutions synodiques des nœuds, ces points et le soleil seront revenus aux mêmes positions relatives; la même éclipse se reproduira donc exactement. Dans notre hypothèse, la méthode des anciens serait donc parfaitement exacte; si elle ne l'est pas, cela tient aux faibles différences qui existent entre les nombres 6585j,76, 6585j,32 et 18 ans 11 jours; ces différences sont à peine sensibles, et la méthode réussit à très-peu près quand on passe d'une période à la période suivante, ou même à quelques périodes consécutives; mais elles le deviendraient si, à partir d'une première observation réelle des éclipses, on voulait faire un tableau de prédictions pour un grand nombre de périodes suivantes. Il faut donc, au bout d'un certain temps, recommencer le premier travail d'observation.
310. Aujourd'hui les astronomes connaissent parfaitement les lois du mouvement de la lune, et peuvent calculer à l'avance pour un temps quelconque les positions de cet astre relativement au soleil et à la terre; ils le font pour tous les jours de chaque année, et même pour des époques plus rapprochées; les résultats de leurs calculs sont insérés dans la Connaissance des temps de chaque année prochaine. A l'aide de ces tables on peut prédire les éclipses et leurs principales circonstances; le lecteur peut voir dans les ouvrages spéciaux comment on arrive à un pareil résultat.
311. Nous essayerons seulement ici de faire comprendre comment on peut savoir s'il y aura ou s'il n'y aura pas éclipse de lune à une opposition donnée. Considérons la terre, son cône d'ombre, et la lune au moment d'une opposition; imaginons alors une sphère ayant son centre au centre T de la terre, fig. 112, et pour rayon la distance Tl qui sépare en ce moment les centres des deux globes. Cette sphère coupe la lune suivant un de ses grands cercles, cercle l, et le cône d'ombre suivant un cercle, cercle Oc, qu'on appelle le cercle d'ombre de la lune; ce cercle Oc a son centre O sur l'axe de ce cône, c'est-à-dire sur les prolongement de la ligne ST qui va du soleil à la terre. La même sphère coupe le plan de l'écliptique suivant un cercle, cercle ON'S, et le plan de l'orbite lunaire suivant un autre grand cercle, cercle N'lN, qui se confond sensiblement avec cette orbite elle-même (dans la partie lN); enfin, le grand cercle de cette sphère qui passe par ST et le centre l de la lune, cercle Ols, n'est autre que le cercle de latitude de la lune, puisque, à l'opposition, ce dernier cercle doit passer par le soleil; ce grand cercle Ols (qui est vu de face), tout en passant par les centres l et O, de circ. l et cir. Oc, rencontre ces circonférences elles-mêmes sur la sphère. De cette exposition il résulte qu'à l'époque considérée, lO est la latitude de la lune, li son demi-diamètre apparent, Oc le demi-diamètre apparent du cercle d'ombre, TN' la direction de la ligne des nœuds. Rappelons-nous aussi (page 211) que le diamètre réel du cercle d'ombre est, à la distance moyenne, 60r, de la lune à la terre, à peu près égal aux 8/11 du diamètre de la terre, tandis que le diamètre réel de la lune n'est que 3/11 du même diamètre; ces deux cercles, cercle Oc et cercle li, étant toujours vus à la même distance, leurs diamètres apparents doivent être dans le même rapport moyen de 8 à 3.
Les deux circonférences, cir. l et circ. Oc, étant tracées sur la même sphère, tout se passe exactement, quant à leurs situations relatives, comme si elles étaient tracées sur le même plan, les arcs ou distances sphériques Ol, li, Oc, remplaçant exactement la distance des centres et les rayons des circonférences. Nos deux circonférences seront sur la sphère: intérieures, sécantes, tangentes, extérieures, dans des conditions remplies par les arcs lO, li, Oc, parfaitement identiques avec les conditions relatives aux mêmes situations indiquées dans notre Géométrie (2e livre). Dès que cercle l et cercle Oc auront une partie commune, la lune entrera dans le cône, et il y aura éclipse; quand il y aura seulement contact extérieur, ou que les deux cercles seront extérieurs l'un a l'autre, il n'y aura pas d'éclipse. D'après cela, ayant égard à la signification astronomique ci-dessus indiquée de lO, li, Oc, et au IIe livre de Géométrie, nous pouvons établir les propositions suivantes:
1º Il y aura éclipse de lune à une opposition donnée, si pour cette époque on a lO < Oc + li, c'est-à-dire si la latitude de la lune est moindre que la somme des demi-diamètres apparents de la lune et de son cercle d'ombre terrestre.
2º Il n'y aura pas d'éclipse de lune à une opposition donnée si, pour cette époque, on a lO = Oc + li ou lO > Oc + li, c'est-à-dire si la latitude de la lune est égale ou supérieure à la somme des demi-diamètres apparents de la lune et de son cercle d'ombre terrestre.
On peut, dans l'expression des conditions précédentes, introduire, au lieu de la latitude lO, l'arc ON, ou son égal N'S qui mesure la distance angulaire STN' du soleil au second nœud N' de la lune. En effet, le triangle sphérique ONl, rectangle en O, fournit une relation très-simple entre lO, ON, et l'angle aigu ONl (qui n'est autre que l'inclinaison connue de l'orbite lunaire sur l'écliptique; en moyenne 5° 9'; tang lO = sin ON tg. ONl = sin N'S tg. ONl). Supposons que l'on ait remplacé lO par ON et l'inclinaison ONl dans chacune des relations citées tout à l'heure. On connaît la limite inférieure et la limite supérieure du demi-diamètre apparent de la lune; on peut déterminer les mêmes limites du demi-diamètre apparent de son cercle d'ombre terrestre (V. le nº suivant); cela fait, on peut remplacer convenablement ces demi-diamètres par leurs limites dans les égalités ou les inégalités dont nous nous occupons; on arrive ainsi à établir les propositions suivantes: