Merveilleuse tasse de café noir! Du reste, il ne faut rien conclure de là, pour le café: tant de tasses de ce malicieux breuvage ont été prises sans qu'il en résultât aucune mathématique!... M. Poincaré lui-même nous met en garde contre l'abus que nous serions tentés de faire d'un tel exemple... Il se souvient de «cette nuit d'exaltation où il travaillait comme malgré lui»; mais il assure qu'il n'est pas nécessaire qu'une extrême activité cérébrale soit causée par un excitant physique. Bien!...
Ensuite, M. Poincaré voulut... je n'ose pas le dire... il voulut représenter ces fonctions qu'il avait établies, «par le quotient de deux séries». Ce n'est pas facile à entendre, je l'accorde. Retenons seulement ceci: il voulut faire une chose mathématique très extraordinaire. Cette idée était, en lui, «parfaitement consciente et réfléchie».
A ce moment-là, il habitait Caen. Un jour, il partit avec des amis pour une course géologique organisée par l'École des Mines. Diversion: les péripéties du voyage lui firent oublier ses travaux mathématiques. A Coutances, les voyageurs montèrent dans un omnibus, en vue de quelque promenade. Or, à l'instant où il mettait le pied sur le marchepied, l'idée subite le frappa, que les «transformations» dont il avait fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes étaient identiques à celles de la géométrie non euclidienne.
Pour nos ignorances, n'est-il pas terrible de se dire qu'on peut monter en omnibus dans ces conditions-là? M. Poincaré monta en omnibus; et, abandonnant son idée, il se mit à la conversation des autres. Les autres ne savaient pas qu'il eût en réserve, dans sa tête, une belle idée qui, plus tard, fleurirait et serait féconde. Ils le regardèrent et ils causèrent avec lui, comme les autres jours, sans précautions particulières. Et lui non plus ne prenait pas de précautions particulières à cause de son idée, parce qu'il la savait en bonne place et que, tout de suite, elle lui avait donné le sentiment de la certitude. Il fit sa promenade; il accomplit jusqu'au bout cette excursion géologique qu'il avait entreprise.
De retour à Caen, il vérifia les résultats à tête reposée, «pour l'acquit de sa conscience». Ensuite, il aborda plusieurs questions d'arithmétique, qui ne donnaient rien et qui ne paraissaient pas liées à ses recherches antérieures. Insuccès. Et cet insuccès le «dégoûta». Donc, il alla passer quelques jours au bord de la mer et pensa à tout autre chose. Un jour, il se promenait sur une falaise. L'idée lui vint, brève, soudaine et certaine, que «les transformations arithmétiques des formes quadratiques ternaires indéfinies étaient identiques à celles de la géométrie non euclidienne». Les promenades de M. Henri Poincaré sont de terribles choses!...
Après avoir passé quelques jours au bord de la mer, il revient à Caen. Il réfléchit à sa trouvaille et il en tire les conséquences. Quelles conséquences!... D'idée en idée, il est conduit à un projet superbe. Il aborde, l'une après l'autre, toutes les fonctions auxquelles il a affaire. Il en fait le siège systématique. Il enlève, l'un après l'autre, tous les «ouvrages avancés»,—tous, sauf un qui lui résiste et duquel dépend le sort de la place. Cela résiste; l'assiégeant s'obstine: ses efforts ne servent qu'à lui «mieux faire connaître la difficulté». Et il déclare que tout ce travail était parfaitement conscient.
Mais alors, il dut s'occuper d'une tout autre stratégie. Il se rendit au Mont Valérien, pour y accomplir son service militaire. Désormais, il eut, comme il dit, «des préoccupations toutes différentes». Et on le devine au maniement d'armes. Seulement, tandis que son esprit conscient s'occupait d'artillerie, son inconscient n'oubliait pas du tout les fonctions fuchsiennes.
Un jour, il traversait le boulevard. Il était, en apparence, un militaire semblable à tous les militaires qui traversent un boulevard. Tout à coup, la solution de la difficulté qui l'avait tourmenté jusqu'alors lui apparut avec une clarté merveilleuse... «Je ne cherchai pas à l'approfondir immédiatement et ce fut seulement après mon service que je repris la question.»
Mais il avait tous les éléments du problème; il ne lui restait qu'à les assembler et à les ordonner. Il rédigea son mémoire définitif, «d'un trait et sans aucune peine».
Voilà les faits; et voici leur interprétation.