Nous admettons que l'espace a trois dimensions, hauteur, largeur et profondeur; et toute la géométrie euclidienne est basée sur cette notion des trois dimensions de l'espace. Mais ce choix des trois dimensions n'est-il pas arbitraire?... «Quelqu'un, dit M. Poincaré, quelqu'un qui y consacrerait son existence pourrait peut-être arriver à se représenter la quatrième dimension...» L'empêchement, c'est l'éducation préalable que nous avons reçue.
Alors, demandez à M. Poincaré si la géométrie euclidienne est vraie. Il vous répondra que cette question n'a pas de sens. Autant, remarque-t-il, demander si le système métrique est vrai et si les anciennes mesures sont fausses. A la géométrie euclidienne il accorde une supériorité: elle est «plus commode» qu'une autre. L'esprit humain lui est plus favorable qu'à une autre. Mais contient-elle plus de vérité qu'une autre? Correspond-elle à une réalité quelconque?... Ces questions ne se posent pas: elles sont vides de signification.
Voilà, pour les axiomes et les principes de la vérité mathématique. Quant à la méthode, elle n'a pas une rigueur mécanique. Henri Poincaré conçoit la mathématique comme un art autant que comme une science. Il a montré qu'à son avis l'invention mathématique dépendait de la sensibilité autant et plus que du pur et simple raisonnement, et que l'imagination y collaborait de la manière la plus efficace.
Ainsi, le scepticisme de ce mathématicien atteint la substance même des mathématiques.
Il se défend d'un scepticisme véritable en faisant observer qu'il ne dit pas que tout cela soit le jeu de notre caprice individuel. Non; la vérité mathématique dépend de la structure de l'esprit humain, lequel est une réalité durable et générale. Tout de même, nous concevions la vérité mathématique comme un absolu, et la voici relative à «notre» science!...
Il y a quelque analogie entre la philosophie mathématique d'Henri Poincaré et la philosophie générale de Kant. Avant celui-ci, un David Hume et d'autres s'amusaient à montrer les antinomies de la raison, l'irréalité des principes métaphysiques. Avant Poincaré, des géomètres ingénieux, jonglant avec les possibilités rationnelles, organisaient à plaisir des géométries de paradoxe. Kant et Henri Poincaré ont transformé ces badinages en doctrine et, sceptiques qui s'efforcent de limiter le désastre, ils ont, en quelque sorte, déterminé, immobilisé en système la notion de la relativité universelle.
A cet égard, ils ne sont pas des sceptiques: ils sont les ennemis du scepticisme envahissant.