L’ouvrage qu’il rédigea ensuite sur la même question est également le résultat de ses méditations sur les causes de l’aplatissement qu’il avait constaté au pôle. Rejetant cependant la gêne des chiffres, toujours inexacts et souvent contradictoires, il fait peu d’usage des mesures si péniblement obtenues et cherche la forme géométrique et pure d’une planète liquide, soustraite aux agitations accidentelles et à la variation incessante des forces perturbatrices, sous l’influence desquelles aucun ordre ne peut subsister. En Laponie, pendant les longues nuits d’hiver et les longues journées d’été, Clairaut avait pu bien souvent ébaucher ses beaux théorèmes et en méditer à loisir la démonstration; mais s’il arriva même que, confiant dans l’habileté de ses compagnons, il leur ait quelquefois abandonné l’honneur et le soin de mettre l’œil à la lunette, ce fut une fructueuse paresse, qu’il ne faut pas regretter. L’ouvrage de Clairaut sur la forme de la terre vaut plus à lui seul que l’expédition tout entière. Ce chef-d’œuvre, digne de devenir classique, supérieur, comme l’a écrit d’Alembert, à tout ce qui avait été fait jusque-là sur cette matière, n’a pas été surpassé depuis. C’est peut-être, de tous les écrits mathématiques composés depuis deux siècles, celui qui, par la forme sévère et la profondeur ingénieuse des démonstrations, pourrait le mieux être comparé, égalé même, aux plus beaux chapitres du Livre des principes. Clairaut évidemment a lu et médité profondément l’œuvre admirable de Newton. Il s’est pénétré de sa méthode de recherche et de démonstration, et, de ce commerce intime avec un génie plus grand que le sien, mais de même famille, est sorti un géomètre tout nouveau. Les premiers travaux de Clairaut avaient donné de grandes espérances; le traité sur la figure de la terre les dépasse toutes, et de bien loin.
La collection des Mémoires de l’Académie des sciences pour 1742 contient un important mémoire de Clairaut sur quelques problèmes de mécanique. Les questions sur lesquelles il s’exerce sont les mêmes, pour la plupart, qui devaient se retrouver dans le traité de mécanique, composé alors, mais publié l’année suivante seulement par d’Alembert. La méthode suivie par Clairaut, moins générale et moins complète dans son énoncé que celle de d’Alembert, n’en diffère pas essentiellement dans l’application à chaque question; et l’on comprend, en lisant son mémoire, que mis en présence d’un même problème, les deux illustres géomètres aient pu l’aborder avec la même confiance et combattre à armes égales.
L’ouvrage de Clairaut sur la théorie de la lune et sur le problème des trois corps, présenté en 1747 à l’Académie des sciences de Paris, et couronné en 1750 par celle de Saint-Pétersbourg, offre, avec non moins d’art que la théorie de la forme de la terre, mais moins de pureté et de rigueur dans l’étude d’une question peut-être insoluble, une habileté et une élégance analytique qui montrent le talent de Clairaut sous un jour entièrement nouveau. Ce n’est plus le disciple de Newton, c’est le rival de d’Alembert.
Les premiers calculs de Clairaut indiquaient, pour le mouvement de l’apogée lunaire, une vitesse deux fois trop petite. Au lieu d’attribuer à l’imperfection de sa méthode ce désaccord avec les observations, également rencontré par d’Alembert et par Euler, Clairaut préféra accuser l’insuffisance de la loi d’attraction, et ébranlant lui-même tout son édifice, crut avoir contraint les géomètres à ajouter un terme nouveau au terme simple donné par Newton.
Le calcul dont Clairaut faisait son fort, n’étant pas poussé à bout, pouvait à peine motiver un doute. Buffon refusa avec raison de corrompre, par l’abandon si précipité du principe, la simplicité d’une théorie si grande et si belle. En étudiant d’ailleurs de nouveau la question avec autant de patience que de bonne foi, Clairaut, pour reconnaître son erreur, n’eut pas besoin de rectifier son calcul, mais de le continuer. L’inspiration de Buffon fut donc des plus heureuses; mais malgré toute la force que donne la vérité, il n’eut pas l’avantage dans la discussion, et en s’efforçant de fonder une loi mathématique sur un préjugé métaphysique, le grand écrivain ne retrouva ni son éloquence, ni sa clarté accoutumée. Il est bon peut-être de montrer, par quelques passages de son mémoire, jusqu’où peut aller l’égarement d’un homme de grand talent, lorsque, cherchant ses lumières en lui-même, il ose s’aventurer dans des régions qu’il ne connaît pas.
«L’attraction, dit-il, croyant alléguer un principe qu’il croit incontestable, doit se mesurer, comme toutes les qualités qui partent d’un centre, par la raison inverse du carré de la distance, comme on mesure en effet la quantité de lumière, l’odeur et toutes les autres qualités qui se propagent en ligne droite et se rapportent à un centre. Or il est bien évident que l’attraction se propage en ligne droite, parce qu’il n’y a rien de plus droit qu’un fil à plomb.»
La conclusion lui semble rigoureuse et indubitable, et Buffon lui trouve, pour sa part, la force et l’évidence d’une démonstration mathématique; «Mais, comme il est, dit-il, des gens rebelles aux analogies, Newton a cru qu’il valait mieux établir la loi de l’attraction par les phénomènes mêmes que par toute autre voie.» Non-seulement ces arguments ne sont ni clairs ni persuasifs, mais «placés, comme dit Montaigne, en dehors des limites et dernières clôtures de la science,» ils ne touchent pas même à la question. Clairaut répondit cependant, et cette discussion eut ce caractère singulier et sans exemple, que la vérité y fut défendue par des arguments qu’il a fallu citer textuellement pour en faire connaître l’insignificance et la faiblesse, tandis que celui des adversaires qui, en somme, se trompe, raisonne cependant avec autant de finesse que de rigueur.
Quoique loin de prétendre à la perfection théorique, Clairaut eût simplement présenté ses résultats comme des approximations successives, on lui reprocha d’avoir abandonné la rigueur traditionnelle des méthodes mathématiques. Fontaine était habitué à la rectitude inflexible du géomètre qui, ne souffrant rien d’imparfait, atteint, par une voie toujours droite, la vérité tout entière. En voyant cette marche timide, par laquelle de continuelles et croissantes approximations font tourner, pour ainsi dire, autour d’une difficulté qui reste invincible, et ces calculs qui, n’étant jamais achevés et ne pouvant jamais l’être, ne prétendent jamais non plus à la dernière perfection, il cria au paralogisme, presque à la trahison. Mais, non content de protester contre cette dérogation nécessaire à la sévère rigueur d’Euclide, il affirma que les principes de Clairaut, exactement et régulièrement suivis, assignaient à la lune une orbite circulaire. La question était facile à éclaircir, et l’erreur de Fontaine bien aisée à démontrer. Clairaut, sans abuser de son avantage, répondit avec autant de modération que de force. Un seul point, dit-il, l’a choqué dans les critiques de M. Fontaine et lui semble révoltant. Le mot n’est pas trop fort, car non content d’indiquer les calculs à faire, Clairaut les avait effectués; et contester ses résultats, presque tous conformes aux observations, c’était l’accuser tout ensemble d’erreur et d’imposture. Pressé par l’évidence de la vérité, Fontaine n’avait rien à répondre; il se tut en effet. Mais après la mort de Clairaut, il écrivit son éloge, dans lequel on lit les lignes suivantes:
«Newton n’a pu tout faire dans le Système du monde... sa Théorie de la lune n’était qu’ébauchée. M. Clairaut a tracé la ligne qu’elle doit suivre en obéissant à la triple action qui maîtrise son cours et qui la retient suspendue entre le soleil et la terre, il nous a montré dans des tables exactes tous les pas qu’elle fait dans les cieux.» Il est impossible, on le voit, de faire plus complétement amende honorable.