II. Ou trouvera que le vin de Bourgogne leur a coûté 50 c. la bouteille, et celui de Champagne 75 c. Il est aisé de le prouver.
III. On voit aisément que, pour résoudre ce problème, il est question de trouver un nombre qui, divisé par 7, ne laisse aucun reste, et, étant divisé par 2, par 3, par 5, laisse toujours 1.
Plusieurs méthodes plus ou moins savantes peuvent y conduire, mais voici la plus simple.
Puisque, le nombre des pièces étant compté sept à sept, il ne reste rien, ce nombre est évidemment un multiple de 7; et puisqu'en les comptant deux à deux, il reste l, ce nombre est un multiple impair; il est donc compris dans la suite des nombres 7, 21, 35, 48, 65, 77, 91, 105, etc.
De plus ce nombre doit, étant divisé par 3, laisser l'unité pour reste. Or, dans la suite des nombres ci-dessus, on trouve que 7, 48, 91, qui croissent arithmétiquement, et dont la différence est 42, ont la propriété demandée. On trouve de plus que le nombre 91 étant divisé par 5 il reste 1; d'où on conclut que le premier nombre qui satisfait à la question est 91, car il est multiple de 7; et, étant divisé par 2, par 3. et par 5, il reste toujours 1.
Le nombre 91 est le premier qui satisfait à la question, car il y en a plusieurs autres qu'on trouvera par le moyen suivant: combinez, la progression ci-dessus, 7, 49, 91, 133, 175, 217, 259, 301, jusqu'à ce que vous trouviez un autre terme divisible par 5, en laissant l'unité, ce terme sera 301, qui satisfera encore à la question. Or, la différence avec 91 est 210; d'où on conclut que, formant cette progression,
91, 301, 511, 721, 951, 1 161, etc.,
tous ces nombres remplissent également les conditions du problème.
Il serait donc incertain quelle somme était dans la bourse perdue, à moins que son maître ne sût à peu près quelle somme elle contenait. Ainsi, s'il disait savoir qu'il y avait environ 500 pièces, on lui répondrait que le nombre des pièces était de 511.
Supposons maintenant que l'homme à qui appartient la bourse eût dit que, comptant son argent deux à deux pièces, il en restait une; qu'en les comptant trois à trois, il en restait deux; que, comptées quatre à quatre, il en restait trois; que, comptées cinq à cinq, il en restait quatre; que, comptées six à six, il en restait cinq, et enfin, qu'en les comptant sept à sept, il n'en restait aucune. On demande ce nombre.