Il est évident que ce nombre est, comme ci-dessus, un multiple impair de 7 et conséquemment un de ceux de la suite
7, 21, 35, 49, 65, 77, 91, 105, etc.
Or, dans cette suite, les nombres 35, et 77 satisfont à la condition d'avoir 2 pour reste quand on les divise par 3; leur différence est 42. C'est pourquoi on forme une nouvelle progression arithmétique dont la différence est 42, savoir:
35, 77, 119, 161, 203, 245, 287, etc.
On y cherche deux nombres qui, divisés par 4, laissent 3 pour reste, et on trouve que ce sont les nombres 35, 119, 203, 287.
C'est pourquoi ou forme cette nouvelle progression, où la différence des termes est 84:
35, 119, 203, 287, 371, 455, 539, 623, etc.
On cherche encore ici deux termes qui, divisés par 5, laissent un reste égal à 4, et on aperçoit bientôt que ces deux nombres sont 119 et 539, dont le différence est 420. Ainsi la suite des termes répondant à toutes les conditions du problème, hors une, est
119, 539, 959, 1 379, 1 799, 2 219, 2 639, etc.
Or, la dernière condition du problème est que, le nombre trouvé étant divisé par 6, il reste 5. cette propriété confient à 119, 959, 1 799, etc., en ajoutant toujours 840. Conséquemment le nombre cherché est un des termes de cette progression. C'est pourquoi, aussitôt qu'on saura dans quelles limites à peu près il est contenu, on sera en état de le déterminer.