Morto il maestro ne trovò un secondo nel Torricelli, e più che maestro un amico, al quale prestò valido aiuto nell'eseguire le esperienze, compresa quella del Barometro da esso, secondo il concetto del Torricelli, condotta.
Nel 1659 pubblicò la divinazione dei sette primi libri del celeberrimo Apollonio Pergeo sulle sezioni coniche, ritenuti perduti. Per somma fortuna il Borelli riuscì a rintracciare nella biblioteca di Firenze un manoscritto arabo, portato dall'Oriente dal gesuita Golius, contenente appunto i sette primi libri di Apollonio. Tradotti in latino comparvero nel 1661, e si trovò che il Viviani, non solo aveva indovinato il pensiero di Apollonio, ma aveva anzi trattato l'argomento in modo più generale del famoso geometra greco. Successo nel 1666 al posto da tempo vacante per la morte del Torricelli, fu eletto membro della Società Reale di Londra, fondata nel 1660, e dell'Accademia di Parigi costituitasi nel 1666. Anzi Luigi XIV gli accordò una pensione, che Viviani impiegò nell'ornare la casa sua, posta in via dell'Amorino, con iscrizioni, basso rilievi, ed un busto in onore del sommo maestro. Dobbiamo al Viviani una “Vita del Galileo„; una relazione speciale sull'applicazione del pendolo agli orologi, e tanti altri scritti: e fu membro attivissimo dell'Accademia del Cimento.
Morì nel 1703 amato, stimato, venerato da tutti, e fu sepolto in Santa Croce; lasciando per testamento alla famiglia Nelli, erede per maggiorasco, l'obbligo di erigere un suntuoso monumento al suo divino Maestro. Ad onta di una sorda opposizione da parte dei Monaci, nel 1737 fu inaugurato in Santa Croce il monumento, e con solennità vi furono composte le ossa del Maestro, e del riconoscente discepolo.
Un senso di melanconica pietà, oltre i quattro principali discepoli del Galileo, i quattro evangelisti della scienza, mi porta a ricordare anche il figlio di lui Vincenzo. L'importanza d'un regolatore del tempo per lo studio de' fenomeni astronomici e terrestri e per la determinazione sopra tutto delle longitudini, era talmente compresa dal Galileo, che l'aveva portato ad adattare al pendolo dei leggerissimi congegni di ruote dentate per segnare il numero delle oscillazioni. Il moto alle ruote venendo impresso dal pendolo stesso, dopo un certo tempo questo doveva fermarsi. L'ideale era dunque che il pendolo non dovesse servire che a regolare il tempo, e che la forza motrice del congegno fosse da esso indipendente. Si trattava di applicare il pendolo all'orologio già esistente, anzi tanto perfezionato
Che l'una parte l'altra tira ed urge
Tin tin sonando con sì dolce nota
Che 'l ben disposto spirto d'amor turge;
E negli ultimi anni di sua vita Galileo, già cieco, col Viviani, e sopra tutto col figlio Vincenzo ragionando, era venuto a stabilire il come di tale applicazione, quale risulta anche dal disegno fattone da Vincenzo, il quale, come colui che assai esperto era nelle arti meccaniche, volle da sè costruire il congegno; per lo che richiedendosi assai più tempo che se ricorso fosse ad artefici, disgrazia lo incolse colla morte del padre prima che a termine l'avesse portato. Solo nell'aprile 1649 riprese Vincenzo la costruzione dell'Oriuolo, avendosi fatto da meccanico apprestare il materiale occorrente, e lavorando di propria mano ad intagliare le ruote e lo scappamento. Messo assieme funzionava, e fattolo vedere al Viviani con esso convenne di alcuni perfezionamenti da apportarvi. Ma pur volendo ultimare in ogni sua parte l'orologio già lavorato, vi si diede d'attorno con raddoppiata lena in tal modo, che colto da violentissima febbre il 16 maggio stesso anno moriva. Disgrazia e fatalità, che privò l'Italia nostra del vanto d'aver prima applicato il pendolo agli orologi, in quanto generalmente ne vien data lode all'Huyghens, certo preclarissimo ingegno, che costruì, sia pure più perfezionato, il suo orologio solo nel 1657. Non è qui il caso di recare argomenti, e molti ne esisterebbero, in favor nostro, ma è a deplorarsi, che non ci sia stata resa giustizia, e riconosciuta come nostra anche l'applicazione del pendolo agli orologi.
Il fascino del metodo galileano, che sull'evidenza de' fatti innalza l'uomo alle più alte speculazioni, aveva tratto a sè le menti più elette di quell'epoca gloriosa e doveva avere solenne manifestazione nella “Accademia del Cimento„. Unire le forze e “Provando e Riprovando„ leggere finalmente nel libro della natura le mirabili pagine che ci tien spiegate davanti.