И как мы только что видели, такие перемещения-преобразования возможны, в известных границах, и в области интенсивностей. Уже одно это наводит на мысль, что геометрические операции применимы не только к пространственным величинам, но ко всякому вообще непрерывному многообразию элементов.

Возьмем для иллюстрации область звуков. Совокупность простых звуков представляет многообразие двух измерений: т.е. каждый элемент этого многообразия характеризуется двумя данными -- 1) высотой и 2) интенсивностью, -- причем между любыми элементами возможен непрерывный переход. Если мы условимся называть элементы нашего многообразия "точками", то переходы между ними, т. е. длительные звуки, непрерывно меняющие свою высоту и силу, можно будет назвать линиями. Непосредственное сопоставление последовательно воспринятых звуковых линий (или "отрезков" одной и той же линии) позволяет до известной степени судить о сравнительной быстроте изменения как интенсивности, так и высоты звука. Возможно, таким образом, выработать понятие непрерывного звука, "равномерно" возрастающего (или убывающего) по силе и высоте. Назовем такой равномерный звуковой переход прямой линией.

Нетрудно убедиться, что к звуковому многообразию двух измерений применимы многие положения планиметрии. Так, например, между двумя "точками" здесь мыслима только одна "прямая". Здесь возможны параллельные линии, т. е. прямые не проходящие через один и тот же звуковой элемент, сколько бы мы их не продолжали в ту или другую сторону. Звуковой "треугольник", точно так же как и Эвклидов, вполне определен, раз даны три его стороны, две стороны и угол или сторона и два угла.

Существенное отличие звуковой геометрии от пространственной состоит в том, что одно из звуковых измерений имеет абсолютное значение. Нам неизвестно такой операции, при помощи которой высоту одного звука можно было бы привести к высоте другого. Хотя музыканты и различают людей, обладающих и не обладающих "абсолютным слухом", тем не менее дело идет здесь, очевидно, лишь о большей или меньшей тонкости восприятия. В действительности, все мы обладаем абсолютным слухом: никто из нас не в состоянии так видоизменить свое ухо, чтобы тон "la", издаваемый определенной струной, превратился в "do", и на соответственные интервалы переместились тоны всех остальных струн данного инструмента. Мы не в состоянии подниматься или опускаться по скале тонов и потому не можем перемещать звуковых фигур по всем направлениям. В звуковом многообразии не осуществимо ни "вращение" фигур, ни передвижение их в направлении высоты тона. Передвижение в направлении интенсивности, хотя и возможно, но ограничено настолько узкими пределами, что его почти не приходится принимать во внимание.

Если бы вместо звуков мы взяли цвета, представляющие непрерывность трех измерений [1) интенсивность, 2) насыщенность, 3) так называемое, "качество" цвета], то "геометрия", построенная в области этого многообразия, отличалась бы некоторыми новыми особенностями. Так, например, прямые линии, характеризующиеся неизменной интенсивностью и насыщенностью и меняющиеся лишь в направлении качества цвета, оказались бы замкнутыми, как в некоторых геометриях: переходя от красного через желтый и зеленый к фиолетовому, они затем через пурпурный возвратились бы к той же самой "точке" красного.

Но все эти эмпирические особенности отдельных конкретных многообразий не устраняют того факта, что между пространственными величинами и другими элементами нашего опыта нет той принципиальной пропасти, которую усматривает Бергсон в согласии с большинством современных психологов. К непространственным многообразиям применимы те же самые акты сравнения и измерения, которые мы применяем к расстояниям. Из непространственных элементов можно создавать построения, совершенно аналогичные геометрическим. В основе таких операций лежит всегда непрерывный качественный переход от одного элемента к другому -- переход, которому в области пространства соответствует "линия", рассматриваемая не как законченная фигура, а как процесс движения точки. Только там, где переход эмпирически неосуществим, где элементы "диспаратны"13 (например, данный звук + данный цвет + данный вкус), никакая геометрия немыслима {Если бы наш опыт давал нам только комплексы диспаратных элементов, не было бы не только геометрии, но и арифметики. Мы не могли бы тогда выработать понятие о порядковом или так называемом "ординальном" числе, т. е. понятия о бесконечном ряде, каждый элемент которого имеет определенное место между предшествующим и последующим. Но и диспаратных комплексов было бы достаточно для выработки более общего понятия о числе, которое математики называют "кардинальным" и которое позволяет без всякого счета отличить один комплекс от другого, как более "богатый" по содержанию15.}.

Мне кажется, что именно здесь лежит причина, заставляющая современных геометров, вопреки догматам традиционной гносеологии, все более и более эмансипироваться от интуиции пространства. Геометрия излагается в настоящее время как совершенно отвлеченная, логическая дисциплина, изучающая многообразие вообще, -- эвклидова геометрия рассматривается как конкретный, частный случай абстрактной "пангеометрии"14. Правда, геометры не заботятся о том, чтобы на практике иллюстрировать многообразия с иным количеством измерений и вообще с иными свойствами, нежели пространство, и потому это последнее оказывается фактически единственной иллюстрацией, применяемой математиками. Но это объясняется чисто практическими соображениями. Дело в том, что всякие конкретные геометрии непространственного характера до такой степени нам непривычны, наши органы чувств до такой степени не искушены в этой области, что соответственные иллюстрации ничуть не облегчили бы усвоения тех теорем, которые разрабатываются пангеометрией.

Несомненно, во всяком случае, одно. Раз комплексы всяких недиспаратных элементов нашего опыта составляют многообразия, могущие служить иллюстрациями для того или другого частного вида геометрии, -- это значит, что геометрия могла возникнуть и сложиться на почве любого из таких многообразий.

XI

Спрашивается, почему же фактически возникла только пространственная геометрия? Почему в области пространства геометрические операция так привычны для нас, что пространственные элементы кажутся однородными и соизмеримыми "сами по себе", без всякого качественного преобразования, и почему в других областях качественные различия встают перед нами как нечто на первый взгляд абсолютно непереводимое?