Хотя народы древвяго міра не знали нашей алгебры, но это не мѣшало имъ заниматься такими вопросами, которые принадлежатъ, собственно говоря, алгебрѣ. Еще у египтянъ въ древнѣйшей рукописи-папирусѣ Ринда рѣшаются уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ; въ этихъ уравненіяхъ мы встрѣчаемъ и знаки, напр., своеобразный знакъ равенства / / . Задача помѣщена, между прочимъ, такая: «⅔ цѣлаго числа вмѣстѣ съ его ½, и 1 / 7 и съ этимъ же цѣлымъ числомъ даютъ 33, найти неизвѣстное»; прежде всего отбираются извѣстные члены въ одну часть, а неизвѣстные въ другую, коэффиціенты при неизвѣстныхъ представляются основными дробями (т. е. съ числителемъ 1) или же выражаются въ одинаковыхъ доляхъ и складываются; величина неизвѣстнаго опредѣляется такъ: въ первомъ случаѣ умножается коэффиціентъ на подходящее число, такъ чтобы въ произведеніи получился извѣстный членъ, а во второмъ множатъ извѣстный членъ на знаменателя коэффиціента и полученное дѣлятъ на числителя.
Греческіе ученые занимались алгеброй въ періодъ времени съ VI ст. до Р. X. и кончая IV ст. по Р. X. Они разработали нѣсколько отдѣловъ ея, но ихъ труды идутъ въ иномъ направленіи, чѣмъ какого держится новѣйшая математика, именно они носятъ на себѣ геометрическую окраску.
Прежде всего Пиѳагоръ (въ VI ст. до Р. X.) и Платонъ (въ V ст.) рѣшили въ цѣлыхъ числахъ уравненіе х 2 +y 2 =z 2.
Пиѳагоръ далъ такія формулы:
гдѣ а равно любому нечетному числу; по Платону
гдѣ а любое четное число.
Діофантъ, жввшій въ Александріи въ 4 в. по Р. X., оказалъ алгебрѣ большія услуги. До него древніе не знали употребленія буквъ при доказательствахъ въ общемъ видѣ, Діофантъ же первый сталъ вводить различные знаки для неизвѣстныхъ величинъ, главнымъ образомъ греческія буквы; ему обязана своей разработкой глава объ уравненіяхъ, именно объ уравненіяхъ первой степени со многими неизвѣстными и о полныхъ квадратныхъ уравненіяхъ. Вотъ примѣръ изъ Діофанта:
x + y = 10, x 2 + y 2 = 68