Мы предполагаем здесь, что R больше T.
Равным образом можно отсюда извлечь метод нахождения трех прямоугольных треугольников в числах, площади которых образуют прямоугольный треугольник.
Вопрос можно свести к нахождению треугольника, у кото рого основание и гипотенуза равны учетверенной высоте. Эта задача нетрудная, и искомый треугольник будет подобен следующему: 17, 15, 8.
А эти три треугольника образуются [числами]:
первый 49 и 2, второй 47 и 2, третий 48 и 1.
Равным образом можно извлечь метод нахождения трех треугольников, площади которых пропорциональны трем данным квадратам, если только два будут равны учетверенному оставшемуся; таким же путем можно найти три треугольника с одинаковой площадью, мало того, можно бесконечным числом способов построить два прямоугольных треугольника, площади которых находятся в заданном отношении, умножая один из членов отношения или оба на заданный квадрат, и т. д.
OBSERVATIO D. P. F
XXX (p. 251)
Ad quæstionem XXV Libri V.
Invenire tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quolibet ipsorum detracto, faciat quadratum. Ponatur solidus sub ipsis contentus 1Q, et rursus quadrati qui queæruntur, sumantur ex triangulis rectangulis, unus a 16/25, alter a 25/169, tertius 64/289; statuo eos in quadratis, et manet 1Q, quolibet ipsorum detracto, faciens quadratum. Superest ut solidus sub tribus contentus æquetur 1Q: est autem solidus ille (25600/1221025)CC; hoc ergo equatur 1Q, et omnia per 1Q dividantur, fiunt (25600/1221025)QQ æqualia I. Est autem unitas quadratus, latus habens quadratum. Ergo oportebat etiam (25600/1221025)QQ esse quadratum latus habentem quadratum. Rursus itaque res eo est reducta ut inveniantur tria triangula rectangula, ut solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub hypotenusis faciat quadratum, qui latus habeat quadratum.* Et si omnia dividamus per productum ex hypotenusa in perpendiculum unius rectangulorum, oportet oriatur qui fit ex producto hypotenusæ in perpendiculum, alicujus rectanguli, in productum ex hypotenusa in perpendiculum alterius, esto unum rectangulorum 3. 4. 5. Eo itaque deventum est, ut inveniantur duo triangula rectangula, ut numerus hypotenusæ et perpendiculi, numeri hypotenusæ et perpendiculi sit 20. Si autem 20 et 5. et est facile, quippe majus est 5. 12. 13. minus 3. 4. 5. Ab his ergo quærenda sunt alia duo, ut numerus hypotenusæ et perpendiculi sit 6. est autem majoris hypotenusa 6½, perpendiculum 60. Minoris autem hypotenusa 2½ qui vero in uno rectangulorum 12. et accipientes minima similium, recurrimus ad propositum initio, et ponimus solidum sub tribus contentum 1Q. ipsorum autem quadratorum alterum 16Q. alterum 576Q. tertium (1/28561)Q. Superest ut solidus sub tribus æquetur 1Q. et omnia in 1Q. latusque lateri æquetur, et invenietur 1N.65. Ad positiones.*