construiren, von denen jede einzelne nur in einem der Puncte [formula], und zwar in der für diesen Punct vorgeschriebenen Weise, unendlich werden soll und überdies in [formula] einen logarithmischen Unstetigkeitspunct besitzen mag, dessen Residuum dem, zu dem betreffenden [formula] gehörigen, logarithmischen Residuum entgegengesetzt gleich kommt. Die Summe
[formula]
wird dann in [formula] stetig; denn die Summe aller zu den Unstetigkeitspuncten [formula] gehörigen Residua ist, wie wir wissen, gleich Null. Ueberdiess wird sie in den [formula] und nur in den [formula], dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich. Sie unterscheidet sich also von der gesuchten Function nur um eine überall endliche Function. Die gesuchte Function ist also in der Gestalt darstellbar:
[formula]
womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden haben.
Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir in §. 4 für die auf der Kugel existirenden complexen Functionen betrachteten, und die wir damals, wie man es gewöhnlich thut, der Lehre von der Partialbruchzerlegung rationaler Functionen entnahmen.
§. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung eindeutiger Functionen.
Die Functionen [formula], welche wir auf unseren Flächen studieren, sind im Allgemeinen unendlich vieldeutig: denn einmal bringt jeder logarithmische Unendlichkeitspunct einen Periodicitätsmodul mit sich, andererseits haben wir die Periodicitätsmoduln an den [formula] Querschnitten [formula], deren reelle Theile wir willkürlich annehmen konnten. Ich sage nun, dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von [formula] in der That erschöpft ist. Zum Beweise müssen wir auf den Begriff der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen, den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten. Da die Differentialquotienten von u und v (oder, was dasselbe ist, die Componenten der zugehörigen Strömung) auf unserer Fläche durchweg eindeutig sind, so liefern zwei aequivalente geschlossene Curven, welche durch keinen logarithmischen Unstetigkeitspunkt getrennt sind, bei Durchlaufung denselben Zuwachs von u, wie von v. Nun fanden wir aber, dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination der Querschnitte [formula] aequivalent ist. Wir bemerkten ferner (§. 10), dass die Durchlaufung von [formula] denjenigen Periodicitätsmodul liefert, welcher der Ueberschreitung von [formula] entspricht, und umgekehrt. Hieraus aber folgt das ausgesprochene Theorem in bekannter Weise.
Es wird uns nun insbesondere interessiren, eindeutige Functionen des Ortes zu betrachten. Dem Gesagten zufolge werden wir alle solche Functionen erhalten, wenn wir als Unstetigkeiten nur rein algebraische Unendlichkeitspuncte zulassen und dann dafür sorgen, dass die [formula] Periodicitätsmoduln an den Querschnitten [formula] sämmtlich verschwinden. Dabei wird es der leichteren Ausdrucksweise wegen gestattet sein, nur einfache algebraische Unstetigkeitspuncte in Betracht zu ziehen. Denn wir wissen ja aus §. 3, dass der [formula]-fache algebraische Unstetigkeitspunct durch Zusammenrücken von [formula] einfachen entstehen kann, wobei übrigens, wie man nicht vergessen darf, Kreuzungspuncte in der Gesammtmultiplicität [formula] absorbirt werden. Seien also m Puncte als einfache algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function gegeben. So wollen wir zuerst irgend m Functionen des Ortes bilden: [formula] von denen jede nur an einer der gegebenen Stellen einfach algebraisch unendlich werden soll aber übrigens beliebig vieldeutig sein mag. Aus diesen Z setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes, welche an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten besitzt, dem vorigen Paragraphen zufolge in der Gestalt zusammen:
[formula]