Ohne Zweifel hat man, da das Rechnen aus den Bedürfnissen des Lebens entsprungen ist, zuerst mit benannten Zahlen gerechnet und ist erst später zu abstrakten Zahlen übergegangen. Das Rechnen mit diesen stand, wie der Papyrus Rhind beweist, im 20. Jahrhundert v. Chr. bereits auf einer Höhe, wie man sie vor dem Bekanntwerden jener wichtigen Urkunde nicht vermuten konnte[19].
Ahmes setzt das Rechnen mit ganzen Zahlen voraus und befaßt sich in seinen Aufgaben unter Anwendung der Brüche besonders mit dem, was wir heute Gesellschaftsrechnung nennen. Die von ihm benutzten Brüche sind Stammbrüche, d. h. solche, die eins als Zähler haben. Einen Stammbruch schreibt er, indem er über die Zahl des Nenners einen Punkt setzt. Jeder andere Bruch wird als Summe von Stammbrüchen ausgedrückt, z. B. 2/5 durch 1/3 und 1/15, die ohne Additionszeichen nebeneinander gesetzt werden. Die Darstellung eines beliebigen Bruches durch Stammbrüche stellt Ahmes an die Spitze.
Um Brüche, die keine Stammbrüche sind, in Summen von Stammbrüchen zu verwandeln, gibt Ahmes eine Tafel der Brüche[20] von der Form 2/(2n + 1) (n = 1, 2, 3 ... 49). Brüche mit höherem Zähler werden in eine Summe gleichnamiger Brüche zerlegt. An solchen Stammbruchsummen werden die Grundrechnungsarten vollzogen.
Manche Aufgabe, die Ahmes bringt, stellt sich als eine Gleichung ersten Grades mit einer Unbekannten dar. Letztere wird als Haufen bezeichnet. So lautet ein Beispiel: »Haufen, sein 2/3, sein 1/2, sein 1/7, sein Ganzes, es beträgt 33.« Das heißt nach heutiger Schreibweise: (2/3)x + (1/2)x + (1/7)x + x = 33. Um x zu finden, wird dann (2/3 + 1/2 + 1/7 + 1) so lange vervielfältigt, bis 33 herauskommt. Als weiteres Beispiel sei eine von den Aufgaben aus der Gesellschaftsrechnung mitgeteilt. Sie lautet: »Zu verteilen 700 Brote unter vier Personen, 2/3 für den Einen, 1/2 für den Zweiten, 1/3 für den Dritten, 1/4 für den Vierten.« Als Gleichung geschrieben würde die Aufgabe in der Ausdrucksweise der heutigen Arithmetik lauten: (2/3)x + (1/2)x + (1/3)x + (1/4)x = 700. Der Wert für x wird dann nach folgender Vorschrift gefunden: Addiere 2/3, 1/2, 1/3 und 1/4; das gibt 1 + 1/2 + 1/4. Teile dann 1 durch 1 + 1/2 + 1/4; das gibt 1/2 + 1/14. Nimm dann 1/2 und 1/14 von 700; das ergibt 400 für x.
Außer der Hieroglyphe für die Unbekannte (unser x) besaßen die alten Ägypter noch einige andere Operationszeichen. Z. B. galt ein Zeichen, das schreitende Beine darstellt, je nach der Richtung als Zeichen für die Addition oder als solches für die Subtraktion. Auch für die Gleichsetzung war ein Zeichen vorhanden. Bekannt war auch schon der Begriff der Wurzel. Bis vor kurzem nahm man an, daß die alten Ägypter diesen Begriff nicht kannten. Neuerdings sind aber Papyrusfragmente (aus der 12. Dynastie) bekannt geworden, in denen sich vermerkt findet, daß √(16) = 4, √(61/4) = 21/2 und √(19/16) = 11/4 ist[21].
Das Verfahren des Wurzelziehens dagegen ist wahrscheinlich erst in der pythagoreischen Schule entwickelt worden, als man größere Quadratzahlen bildete, deren Grundzahl nicht ohne weiteres ersichtlich war, vor allem aber, als es galt, nach dem pythagoreischen Lehrsatz die Hypotenuse aus den Katheten zu berechnen.
Ferner begegnen uns Gleichungen wie die folgenden:
22 + (11/2)2 = (21/2)2
62 + 82 = 102.
Endlich sind Rollen aus der Zeit um 2000 v. Chr. bekannt geworden, in denen sich Anweisungen über die Festlegung der Wandrichtungen bei Tempelbauten finden. Das Verfahren bestand im »Seilspannen«, das heißt, man teilte ein Seil im Verhältnis 3 : 4 : 5 und bildete aus diesen Stücken ein Dreieck, um so den gesuchten rechten Winkel zu erhalten. Darauf stützt sich die Ansicht, daß der pythagoreische Lehrsatz wohl auf ägyptische Anregungen zurückzuführen sei[22].
Ganz geschickt waren die Ägypter, wie aus dem Handbuch des Ahmes hervorgeht, auch schon in der Lösung von Aufgaben, die auf die Anwendung von arithmetischen und geometrischen Reihen hinauslaufen. Auch hier mögen einige Beispiele uns mit den ersten Schritten auf diesem Gebiete bekannt machen. Ahmes stellt die Aufgabe, 100 Brote an 5 Personen in arithmetischer Progression so zu verteilen, daß die zwei ersten Personen, welche die geringeren Anteile erhalten, zusammen 1/7 von dem bekommen, was auf die 3 übrigen Personen entfällt. Ahmes setzt zunächst das kleinste Glied gleich 1 und sagt dann ohne Begründung: »Mache, wie geschieht, den Unterschied gleich 51/2«. So erhält er die arithmetische Reihe: 1, 61/2, 12, 171/2, 23. Sie genügt zwar der Bedingung, daß die Summe der beiden ersten Glieder gleich 1/7 von der Summe der drei letzten ist. Indessen enthält diese Reihe statt der gegebenen 100 nur 60 Einheiten. Da aber 100 das 12/3fache von 60 ist, verbessert Ahmes den unrichtigen, aber auch nur vorläufigen Ansatz, indem er jedes Glied der Reihe mit 12/3 multipliziert. Er findet so ganz richtig die allen Bedingungen entsprechende Reihe 12/3, 105/6, 20, 291/6, 381/3.