»a fällt unter F« und »b fällt unter F«
allgemein folgt, dass a und b dasselbe sind.
Es bleibt noch übrig, den Uebergang von einer Zahl zur nächstfolgenden allgemein zu erklären. Wir versuchen folgenden Wortlaut: dem Begriffe F kommt die Zahl (n + 1) zu, wenn es einen Gegenstand a giebt, der unter F fällt und so beschaffen ist, dass dem Begriffe »unter F fallend, aber nicht a« die Zahl n zukommt.
§ 56. Diese Erklärungen bieten sich nach unsern bisherigen Ergebnissen so ungezwungen dar, dass es einer Darlegung bedarf, warum sie uns nicht genügen können.
Am ehesten wird die letzte Definition Bedenken erregen; denn genau genommen ist uns der Sinn des Ausdruckes »dem Begriffe G kommt die Zahl n zu« ebenso unbekannt wie der des Ausdruckes »dem Begriffe F kommt die Zahl (n + 1) zu.« Zwar können wir mittels dieser und der vorletzten Erklärung sagen, was es bedeute
»dem Begriffe F kommt die Zahl 1 + 1 zu,«
und dann, indem wir dies benutzen, den Sinn des Ausdruckes
»dem Begriffe F kommt die Zahl 1 + 1 + 1 zu«
angeben u. s. w.; aber wir können – um ein krasses Beispiel zu geben – durch unsere Definitionen nie entscheiden, ob einem Begriffe die Zahl Julius Caesar zukomme, ob dieser bekannte Eroberer Galliens eine Zahl ist oder nicht. Wir können ferner mit Hilfe unserer Erklärungsversuche nicht beweisen, dass a = b sein muss, wenn dem Begriffe F die Zahl a zukommt, und wenn demselben die Zahl b zukommt. Der Ausdruck »die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt« wäre also nicht zu rechtfertigen und dadurch würde es überhaupt unmöglich, eine Zahlengleichheit zu beweisen, weil wir gar nicht eine bestimmte Zahl fassen könnten. Es ist nur Schein, dass wir die 0, die 1 erklärt haben; in Wahrheit haben wir nur den Sinn der Redensarten
»die Zahl 0 kommt zu,«
»die Zahl 1 kommt zu«