Nella matematica alcuni lavoravano alla sintesi antica, altri perfezionavano l’algebra. Federico Comandino urbinate (1509-75) col tradurre e commentare antichi fe’ progredire la scienza, e senza di lui le collezioni matematiche di Pappo forse sarebbonsi perdute, e con loro tante notizie della matematica antica: tradusse i Galleggianti di Archimede, le Sezioni coniche di Apollonio, gli Elementi d’Euclide, il Planisfero e l’Analemma di Tolomeo, ed altri, ristabilendo i testi. Vanno con lui Francesco Galigaj, che nella Somma d’aritmetica sciolse le equazioni di secondo grado indeterminate difficili; Giambattista Benedetti veneziano, che a ventitre anni pubblicò la Risoluzione di tutti i problemi d’Euclide con una sola apertura di compasso (1553), ardua condizione cui superò con grande sagacia. Il Patrizio voleva introdurre la metafisica nella geometria, e dimostrare gli assiomi. Francesco Maurolíco messinese (1494-1575) cominciò un’enciclopedia delle matematiche pure e applicate, e traducendo e commentando Archimede, Apollonio, Diofante, li trasse a nuove risultanze. Rifece il perduto quinto libro di Apollonio sulle sezioni coniche, intorno alle rette che finiscono alle circonferenze di quelle, e determinò il centro di gravità di molti solidi. Bella applicazione fu il riflettere che le curve tracciate dallo stilo del gnomone solare sono sempre sezioni coniche, variate secondo la natura del piano su cui si projettano; prima volta che la gnomonica si considerasse sotto aspetto geometrico. Attentissimo osservatore e arguto filologo, scrisse poesie italiane e sicule, e di filosofia, grammatica, teologia, e principalmente di ottica. La sua città, da lui protetta di fortificazioni, gli assegnò cento scudi d’oro perchè continuasse i suoi lavori e la storia patria; Carlo V e il suo bastardo don Giovanni lo onorarono pei calcoli astrologici, coi quali avea predetta la costui vittoria sui Turchi.
Bernardino Baldi, allievo del Comandino, tradusse gli Automi di Jerone, ben trattò della gnomonica, compose paradossi matematici, e preparava una biografia de’ matematici. Già l’indicammo fra’ poeti (Cap. CXLII); inoltre fece una raccolta d’iscrizioni, e tentò interpretare le eugubine; studiò l’ebraico e il caldaico per capir la Bibbia, e l’arabo e l’illirico sotto Raimondi che presedeva alla tipografia orientale de’ Medici; possedette sedici lingue, e lasciò novanta opere, notevoli per molti rispetti[305].
Ignazio Danti domenicano, vescovo d’Alatri, tradusse la prospettiva di Euclide e di Eliodoro e la sfera di Proclo, con annotazioni non ispregevoli, come quelle che fece sul Vignola e sul trattato del radio dell’Orsini; nelle Scienze matematiche ridotte a tavole diede una genealogia di esse; accennò la diminuzione dell’obliquità dell’eclittica, dedotta dal paragone delle antiche colle nuove misure. Cosmo granduca gli aveva affidato il progetto d’unire il Mediterraneo coll’Adriatico, e gli fece fare grandi carte geografiche, e tracciare la meridiana in Santa Maria Novella a Firenze.
Il linguaggio algebrico era al balbettare; sapeansi risolvere solo le equazioni determinate di primo e secondo grado e alcune derivatene, nè s’era volta la considerazione sulle radici negative o immaginarie. Ma Scipione Del Ferro bolognese, risolto un caso parziale d’equazione cubica (x3 + px = q), ne comunicò il segreto ad Antonmaria Del Fiore (1535), il quale pubblicamente sfidò Nicola Tartaglia in Venezia. Questi, già vittorioso d’una disfida di Giovanni De Tonini, confuse il nuovo emulo con una soluzione più generale, e sotto giuramento l’insegnò a Girolamo Cardano milanese, il quale pubblicolla nella sua Ars magna (1545), applicandole il proprio nome che le è rimasto. Essendosene il Tartaglia querelato, venne a sfida di trentun problemi col Del Ferro, e ne propose di più ardui, dove appare algebrista superiore. Queste sfide e nove libri di risposte che il Tartaglia dava a quesiti speditigli dai principi, monaci, ambasciadori, architetti, attestano con quanto ardore si proseguissero tali studj.
Il Tartaglia (1550-57) nasceva da un cavallaro; nel sacco di Brescia ebbe tagliata la lingua, donde il suo soprannome; visse povero e tutto nelle matematiche; applicò la geometria a determinare il movimento curvilineo e la caduta de’ gravi, e tentò ricostruire la meccanica; molto attese alla balistica e a problemi d’artiglieria, e ne’ Quesiti e invenzioni diverse dà la dimensione dei pezzi da guerra, e il modo di servirsene e stabilirne la capacità. Ingegnosi suoi trovati sono il misurare l’area di un triangolo a lati conosciuti senza cercare la perpendicolare; e la travagliata invenzione per rimettere a galla qualunque nave affondata, per pesante che sia.
Il Cardano, che già conosciamo come singolare intreccio di sapere e di stravaganza, trattò di tutto con analisi inventrice: sulla meccanica spinse giudiziose osservazioni, valutò la gravità e resistenza dell’aria, cercò una misura del tempo nella pulsazione dell’arteria; insegnò un lucchetto a combinazioni mutabili, che si chiude sotto la parola serpens, invenzione che mal s’arrogano i Francesi[306]; riconobbe la più parte delle proprietà delle radici, indicò le negative nelle equazioni quadrate, ogni equazione cubica avere una o tre radici reali, e queste sapeva raggiungere per approssimazione, indicarne il numero e la natura, o secondo i segni, o secondo i coefficienti; trasformare un’equazione cubica perfetta in un’altra mancante del secondo termine; inventò il calcolo delle radici immaginarie, tanto spediente all’analisi; pubblicò pure il metodo di sciogliere le equazioni biquadrate, trovato da Lodovico Ferrari di Bologna; applicava l’algebra alla geometria dei problemi, prima di Vieta e Cartesio; prima di Harriot, cui Montucla ne dà il merito, fece l’equazione eguale a zero; in un tempo in cui al Tartaglia pareva un gran che l’avere scoperto il cubo di p + q e l’equazione tra il cubo e una linea, e tra due porzioni di questa, fu trovata la bella sua formola, fondamento ai lavori più insigni e perfino all’elegante generalizzazione di Harriot: anzi è notevole che da questo in poi non si è dato un passo nella soluzione completa delle equazioni letterali.
Rafaele Bombelli bolognese (Trattato d’aritmetica, 1572) fu il primo che desse regole onde calcolare le quantità radicali immaginarie, e un metodo uniforme per risolvere le equazioni di terzo e quarto grado. Pier Antonio Cataldi, professore a Bologna, lavorò l’analisi indeterminata e sui numeri perfetti; nel Metodo brevissimo di trovar la radice quadrata insegna ad accostarvisi colle serie infinite mediante un processo uniforme; e nell’uso delle frazioni continue, di cui si fa merito ad altri, indica il primo passaggio dal finito all’infinito. Francesco Barozzi veneziano s’occupò del tracciare gli assintoti: e fu processato nel 1587 dall’Inquisizione per libri proibiti ed arti magiche. Il piemontese Peverone calcolò le probabilità. Di Tommaso Guerrino, che per povertà servì d’alabardiere alla città di Milano, si hanno a stampa l’Euclide in campagna (1663), e trattati di gnomonica, stereometria, geodesia.
Profittare di tutte le scoperte, chiarire le vie, ridurre le ipotesi a scienza, fu il merito di Keplero che con ardite ipotesi raggiunse le vere leggi mondiali, e del nostro Galileo Galilei[307]. Questo, mentre nella patria Università studiava medicina e filosofia, s’appassionò delle matematiche, e a vent’anni già era uno de’ geometri più robusti. Vedendo in chiesa dondolare una lampada, riflette che le oscillazioni grandi o piccole ne succedono in tempi eguali; sicchè può prendersene una misura del tempo. All’uopo stesso di crescere forza e precisione ai sensi, inventa il compasso di proporzione, il microscopio[308], il termometro; e sebbene nol riducesse comparabile mediante un punto fisso di partenza, mai fin allora non erasi applicato un fenomeno fisico a misurare l’intensità d’una causa. Della meccanica, stazionaria da Archimede in poi, sodò i principj, trattando della statica e della dinamica; e mercè il suo teorema dell’equilibrio de’ pesi disuguali o delle velocità virtuali, provvide all’insufficienza e all’eccesso degli sforzi.
Da questi canoni del moto accelerato e ritardato dedusse corollarj importantissimi. Bamboleggiando con Aristotele, si stampava che la palla, uscendo dal cannone descrive due lati d’un parallelogrammo: — Non è vero (diceva Tartaglia), ma la retta descritta al primo uscire, e quella del cadere sono tangenti d’un arco di cerchio». Vedendo che la forza necessaria per sostenere un peso sovra un piano inclinato diviene zero sopra uno orizzontale, ed eguale al peso in uno perpendicolare, il Cardano conchiudeva tale forza variare in ragione diretta dell’angolo che il piano fa coll’orizzonte. Alquanto meglio il Benedetti attribuiva la forza centrifuga dei corpi all’inclinazione loro a moversi in linea retta.
Il moto composto si trova indicato in Aristotele, e implicito nei ragionamenti d’altri autori, pure sembra che nessuno se ne valesse di proposito prima che Galileo dimostrasse parabolico il moto de’ projetti; donde venne pure a comprendere la deflessione curvilinea, cagionata da forze operanti in tempi infinitamente piccoli. Mentre con Aristotele diceasi che la caduta de’ gravi s’accelera in ragione diretta del peso e inversa della densità del mezzo, Galileo sperimentò che nel vuoto cadono con eguale velocità il cotone e il piombo, e diede la legge dell’acceleramento dei gravi e della discesa per piani inclinati; volersi una forza maggiore dell’ostacolo per movere un peso, o supplirvi colla maggiore velocità. Poi per ragionamenti chiarì che gli spazj percorsi nella caduta stanno come i quadrati de’ temi, e crescono giusta i numeri dispari; e che lo spazio intero è metà di quel che sarebbesi percorso uniformemente fin dal principio colla velocità finale. Sul resistere de’ solidi alla frattura delle loro parti, espose principj oggi assentiti, benchè da Cartesio derisi. Nel trattato Delle cose che stanno nell’acqua, stabilì quel che chiamasi paradosso idrostatico, conoscesse o no le opere di Stewin; e mostrò che la forma dei corpi non contribuisce a renderli più o meno galleggianti.